자연계열 1번

인하대 2019학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2019mo/jayeon_1

다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오.

(가) 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리 $\displaystyle d$ 는 $\displaystyle d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(나) (산술, 기하평균) $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle b>0$ 일 때, 다음 부등식이 성립한다. $\displaystyle \frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ (단, 등호는 $\displaystyle a=b$ 일 때 성립)

(다) $\displaystyle x$ 의 함수 $\displaystyle y$ 가 음함수 $\displaystyle f(x,y)=0$ 의 꼴로 주어졌을 때, $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle x$ 의 함수로 보고 각 항을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분한 후 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구한다.

(라) 영벡터가 아닌 두 평면 벡터 $\displaystyle \vec{a}=(a_1,a_2)$ , $\displaystyle \vec{b}=(b_1,b_2)$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ $\displaystyle (0\leq\theta\leq\pi)$ 라고 할 때, $\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

(※) 아래 그림과 같이 반지름이 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 인 세 개의 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 와 $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 에 접하고 중심이 $\displaystyle y$ 축에 놓여 있는 원 $\displaystyle C$ 가 있다. 원점 $\displaystyle O$ 를 지나는 직선 $\displaystyle \ell$ 이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \theta$ 일 때 (단, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ), $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle P_1$ , $\displaystyle P_2$ , $\displaystyle P_3$ 라 하자. $\displaystyle P_1$ 을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 평행인 직선과 $\displaystyle P_2$ 를 지나고 $\displaystyle y$ 축에 평행인 직선이 만나는 점을 $\displaystyle Q_1$ 이라 하고 $\displaystyle P_2$ 를 지나고 $\displaystyle x$ 축에 평행인 직선과 $\displaystyle P_3$ 를 지나고 $\displaystyle y$ 축에 평행인 직선이 만나는 점을 $\displaystyle Q_2$ 라 하자. 점 $\displaystyle Q$ 는 $\displaystyle Q_1$ 과 $\displaystyle Q_2$ 의 중점이다.

동심원 C₁, C₂, C₃와 원 C, 직선 ℓ 위의 점 P₁, P₂, P₃ 및 점 Q₁, Q₂, Q

(1-1) (a) 점 $\displaystyle Q$ 의 자취가 그리는 곡선의 방정식을 구하시오. (5점)(b) 세 점 $\displaystyle O$ , $\displaystyle Q_1$ , $\displaystyle Q_2$ 가 한 직선 위에 있을 때, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 의 관계식을 구하시오. (5점)

(1-2) 세 점 $\displaystyle O$ , $\displaystyle Q_1$ , $\displaystyle Q_2$ 가 한 직선 위에 있고 $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=4$ 라 하자.(a) $\displaystyle Q$ 가 그리는 곡선에서 접선이 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이가 최소가 되는 점과 사각형 $\displaystyle P_1Q_1Q_2P_2$ 의 넓이가 최대가 될 때의 점 $\displaystyle Q$ 가 같음을 보이시오. (12점)(b) 점 $\displaystyle Q_1$ 은 사각형 $\displaystyle P_1Q_1Q_2P_2$ 의 넓이가 최대가 되는 점이고 점 $\displaystyle S$ 는 원 $\displaystyle C$ 의 경계선을 포함하는 내부의 점일 때, $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OS}$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (13점)

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2019mo/jayeon_1

+3점 ·

\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=1

를 구하면 3점

(1-1)(a) 그림으로부터 $\displaystyle P_1=(a\cos\theta,a\sin\theta)$ , $\displaystyle P_2=(b\cos\theta,b\sin\theta)$ , $\displaystyle P_3=(c\cos\theta,c\sin\theta)$ 이므로 $\displaystyle Q_1=(b\cos\theta,a\sin\theta)$ , $\displaystyle Q_2=(c\cos\theta,b\sin\theta)$ 를 얻는다. $\displaystyle Q=\frac{Q_1+Q_2}{2}=\left(\frac{b+c}{2}\cos\theta,\frac{a+b}{2}\sin\theta\right)$ 이므로 $\displaystyle x=\frac{b+c}{2}\cos\theta$ , $\displaystyle y=\frac{a+b}{2}\sin\theta$ 라 놓으면 $\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=1$ 를 만족한다. 따라서, 점 $\displaystyle Q$ 의 자취가 그리는 곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=1$ ,

+2점 ·

\displaystyle x,y

의 범위를 구하면 2점

$\displaystyle x,y>0$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle b^2=ac

를 구하면 5점

(1-1)(b) 세 점 $\displaystyle O,Q_1,Q_2$ 가 한 직선 위에 있으므로 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}$ 과 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_2}$ 는 평행이다. 즉 $\displaystyle \frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}=\frac{b\sin\theta}{c\cos\theta}$ 이므로 $\displaystyle b^2=ac$ 이다.

+2점 · 타원

\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1

을 구하면 2점

(1-2)(a) $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=4$ 이므로 문항 (1-1)(b) 에 의해 $\displaystyle c=8$ 이므로 $\displaystyle Q$ 는 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ 위의 점이다.

+5점 · 삼각형의 넓이가 최소가 되는 점을 구하면 5점

이 타원 위의 점을 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 이라 하자. ( $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle x_1>0,y_1>0$ ) 한편, 음함수의 미분법을 이용하여 이 점에서의 접선의 방정식을 구하면 $\displaystyle \frac{x_1x}{36}+\frac{y_1y}{9}=1$ 이다. 따라서, 좌표축과 만나는 점을 $\displaystyle A,B$ 라 하면 $\displaystyle A\left(\frac{36}{x_1},0\right),B\left(0,\frac{9}{y_1}\right)$ 이고 $\displaystyle \frac{x_1^2}{36}>0$ , $\displaystyle \frac{y_1^2}{9}>0$ 이므로 산술기하평균에 의해 $\displaystyle 1=\frac{x_1^2}{36}+\frac{y_1^2}{9}\geq2\sqrt{\frac{x_1^2}{36}\frac{y_1^2}{9}}=2\frac{x_1y_1}{18}=\frac{x_1y_1}{9}$ 이다. 이 때, 최소가 되는 점은 $\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{y}{3}$ 인 점이므로 $\displaystyle Q=\left(3\sqrt{2},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$ 가 된다.

+3점 · 사각형의 최대넓이가 되는

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}

를 3점

한편, 사각형 $\displaystyle P_1Q_1Q_2P_2$ 의 넓이를 $\displaystyle A(\theta)$ 라 하면 $\displaystyle A(\theta)=4\sin\theta\cos\theta=2\sin2\theta$ 이고 $\displaystyle A^{\prime}(\theta)=4\cos2\theta=0$ 인 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$ ( $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ )에서 $\displaystyle A(\theta)$ 가 최대가 된다. Correction. 사각형 $\displaystyle P_1Q_1Q_2P_2$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}(2\cos\theta+4\cos\theta)\cdot2\sin\theta=6\sin\theta\cos\theta$ 이므로, $\displaystyle A(\theta)=3\sin2\theta$ , $\displaystyle A^{\prime}(\theta)=6\cos2\theta$ 가 되어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 ·

\displaystyle Q=(6\cos\theta,3\sin\theta)=\left(3\sqrt{2},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)

를 구하면 2점

따라서, $\displaystyle Q=(6\cos\theta,3\sin\theta)=\left(3\sqrt{2},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$ 이므로 삼각형의 넓이가 최소가 되는 점과 일치한다.

+2점 ·

\displaystyle Q_1(2\sqrt{2},\sqrt{2})

을 구하면 2점

(1-2)(b) (1-2)(a)에 의해 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$ 이고 $\displaystyle Q_1=(b\cos\theta,a\sin\theta)$ 이므로 $\displaystyle Q_1=(2\sqrt{2},\sqrt{2})$ 이다.

+5점 · 임의의 점

\displaystyle R

에 대하여

\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OR}=\sqrt{2}k

임을 보이면 5점

$\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}=(2\sqrt{2},\sqrt{2})$ 에 수직인 직선의 방정식을 $\displaystyle y=-2x+k$ 라 하자. 이 직선위의 임의의 점을 $\displaystyle R(x,-2x+k)$ 이라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OR}=(2\sqrt{2},\sqrt{2})\cdot(x,-2x+k)=\sqrt{2}k$ 즉, 직선 위의 임의의 점 $\displaystyle R$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OR}=\sqrt{2}k$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle k=6+2\sqrt{5}

\displaystyle k=6-2\sqrt{5}

를 구하면 4점

한편, 원 $\displaystyle C:x^2+(y-6)^2=2$ 에 접하고 기울기가 $\displaystyle -2$ 인 직선의 방정식을 $\displaystyle y=-2x+k$ 라 하면 원 $\displaystyle C$ 의 중심 $\displaystyle (0,6)$ 에서 직선 $\displaystyle 2x+y-k=0$ 까지의 거리가 $\displaystyle 2$ 이므로 $\displaystyle \frac{|6-k|}{\sqrt{5}}=2$ 를 만족한다. 따라서, $\displaystyle k=6+2\sqrt{5}$ 또는 $\displaystyle k=6-2\sqrt{5}$ 이다.Correction. 원의 중심은 $\displaystyle (0,6)$ 이고 반지름은 $\displaystyle 2$ 이므로, $\displaystyle x^2+(y-6)^2=2$ 는 $\displaystyle x^2+(y-6)^2=4$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 ·

\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OS}

의 최댓값과 최솟값을 구하면 2점

그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}\cdot\overrightarrow{OS}$ 의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{2}k=\sqrt{2}(6+2\sqrt{5})=6\sqrt{2}+2\sqrt{10}$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_2}\cdot\overrightarrow{OS}$ 의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{2}k=\sqrt{2}(6-2\sqrt{5})=6\sqrt{2}-2\sqrt{10}$ 이다. 따라서, $\displaystyle 12\sqrt{2}$ 이다.Correction. 최솟값을 구하는 벡터도 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}$ 이므로, $\displaystyle \overrightarrow{OQ_2}$ 는 $\displaystyle \overrightarrow{OQ_1}$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개