수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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인하대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2019mo/jayeon_3

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다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오.

(가) ∑k=1n1k(k+1)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}의 합은 다음과 같이 구할 수 있다.∑k=1n1k(k+1)=∑k=1n1k−∑k=1n1k+1=nn+1\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=\frac{n}{n+1}

(나) 로그함수의 부정적분은 다음과 같이 주어진다.∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\displaystyle \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C

(※) 다음 그림과 같이 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x의 그래프와 두 수직선 x=n\displaystyle x=n, x=n+1\displaystyle x=n+1의 교점을 각각 C\displaystyle C, D\displaystyle D라고 하자. 또한 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x의 x=n+1\displaystyle x=n+1에서의 접선과 수직선 x=n\displaystyle x=n의 교점을 E\displaystyle E라고 하자. 사다리꼴 ABDC\displaystyle ABDC의 넓이를 an\displaystyle a_n, 사다리꼴 ABDE\displaystyle ABDE의 넓이를 cn\displaystyle c_n이라 하고, y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x의 그래프와 x\displaystyle x축, 그리고 두 수직선 x=n\displaystyle x=n, x=n+1\displaystyle x=n+1로 둘러싸인 부분의 넓이를 bn\displaystyle b_n이라고 하자.

로그함수 y=ln x의 그래프와 접선, 사다리꼴 ABDC 및 ABDE

(3-1) 0≤x<1\displaystyle 0\leq x<1인 모든 x\displaystyle x에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (5점)x+ln⁡(1−x)+x22(1−x)≥0\displaystyle x+\ln(1-x)+\frac{x^2}{2(1-x)}\geq0

(3-2) 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 cn−an\displaystyle c_n-a_n를 구하시오. (5점)

(3-3) 양의 정수 k\displaystyle k에 대하여 ak<bk<ck\displaystyle a_k<b_k<c_k이므로, bk−ak<ck−ak\displaystyle b_k-a_k<c_k-a_k임은 자명하다. 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (10점)∑k=1n(bk−ak)<14\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(b_k-a_k)<\frac{1}{4}

(3-4) 앞에서 얻은 부등식 ∑k=1n−1bk−14<∑k=1n−1ak<∑k=1n−1bk\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k-\frac{1}{4}<\sum_{k=1}^{n-1}a_k<\sum_{k=1}^{n-1}b_k (n≥2)\displaystyle (n\geq2)을 이용하여, n≥2\displaystyle n\geq2인 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (15점)e34×nn+12en<n!<e×nn+12en\displaystyle e^{\frac{3}{4}}\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}<n!<e\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2019mo/jayeon_3

+3점 · ln⁡x\displaystyle \ln x의 미분을 이용하여 주어진 식을 미분

(3-1) 함수 f(x)=x+ln⁡(1−x)+x22(1−x)\displaystyle f(x)=x+\ln(1-x)+\frac{x^2}{2(1-x)}는 f(0)=0\displaystyle f(0)=0이고, 0≤x<1\displaystyle 0\leq x<1에 대하여 f′(x)=x22(1−x)2≥0\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x^2}{2(1-x)^2}\geq0이므로

+2점 · 미분을 이용하여 주어진 부등식을 증명

f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0이다. 따라서 주어진 부등식을 얻는다.

+2점 · y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x의 접선을 계산

(3-2) 점 C\displaystyle C, D\displaystyle D의 좌표는 각각 (n,ln⁡n)\displaystyle (n,\ln n), (n+1,ln⁡(n+1))\displaystyle (n+1,\ln(n+1))이다. 그리고 점 D\displaystyle D에서의 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x에서의 접선은 y=1n+1(x−n−1)+ln⁡(n+1)\displaystyle y=\frac{1}{n+1}(x-n-1)+\ln(n+1)이므로, 점 E\displaystyle E의 좌표는 (n,−1n+1+ln⁡(n+1))\displaystyle \left(n,-\frac{1}{n+1}+\ln(n+1)\right)이다.

+3점 · an\displaystyle a_n, cn\displaystyle c_n을 정확히 계산

점들의 좌표로부터 사다리꼴의 넓이를 구하면an=ln⁡n+ln⁡(n+1)2,cn=ln⁡(n+1)−12(n+1)\displaystyle a_n=\frac{\ln n+\ln(n+1)}{2},\quad c_n=\ln(n+1)-\frac{1}{2(n+1)}이다. 따라서 cn−an=12(ln⁡n+1n−1n+1)\displaystyle c_n-a_n=\frac{1}{2}\left(\ln\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)이다.

+5점 · ∑k=1n(ck−ak)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(c_k-a_k)이 14\displaystyle \frac{1}{4}보다 작다는 것을 보임
+5점 · cn−an\displaystyle c_n-a_n과 bn−an\displaystyle b_n-a_n사이의 관계를 이해하여 ∑k=1n(bk−ak)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(b_k-a_k)이 14\displaystyle \frac{1}{4}보다 작음을 보임

(3-3) 문항 (3-1), (3-2)의 결과를 이용하면cn−an=12[−ln⁡(1−1n+1)−1n+1]≤14n(n+1)\displaystyle c_n-a_n=\frac{1}{2}\left[-\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{n+1}\right]\leq\frac{1}{4n(n+1)}이다. 따라서∑k=1n(bk−ak)<∑k=1n(ck−ak)≤14∑k=1n1k(k+1)=14−14(n+1)<14\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(b_k-a_k)<\sum_{k=1}^{n}(c_k-a_k)\leq\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4(n+1)}<\frac{1}{4}임을 알 수 있다.

+10점 · ∑k=1nak\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k, ∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k를 구하고, 이를 이용하여 (n+12)ln⁡n−n+34<ln⁡2+ln⁡3+⋯+ln⁡(n−1)+ln⁡n<(n+12)ln⁡n−n+1\displaystyle \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+\frac{3}{4}<\ln2+\ln3+\cdots+\ln(n-1)+\ln n<\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+1를 얻음.

(3-4) 문항 (3-3) 의 결과를 이용하면 n≥2\displaystyle n\geq2에 대하여∑k=1n−1bk−14<∑k=1n−1ak<∑k=1n−1bk\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k-\frac{1}{4}<\sum_{k=1}^{n-1}a_k<\sum_{k=1}^{n-1}b_k임을 알 수 있다. 그리고∑k=1n−1ak=ln⁡2+ln⁡3+⋯+ln⁡(n−1)+12ln⁡n\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_k=\ln2+\ln3+\cdots+\ln(n-1)+\frac{1}{2}\ln n∑k=1n−1bk=∫1nln⁡x dx=nln⁡n−n+1\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k=\int_1^n\ln x\,dx=n\ln n-n+1이므로(n+12)ln⁡n−n+34<ln⁡2+ln⁡3+⋯+ln⁡(n−1)+ln⁡n<(n+12)ln⁡n−n+1\displaystyle \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+\frac{3}{4}<\ln2+\ln3+\cdots+\ln(n-1)+\ln n<\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+1이다.

+5점 · e34×nn+12en<n!<e×nn+12en\displaystyle e^{\frac{3}{4}}\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}<n!<e\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}을 보임

따라서 n≥2\displaystyle n\geq2에 대하여 e34×nn+12en<n!<e×nn+12en\displaystyle e^{\frac{3}{4}}\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}<n!<e\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}를 얻는다.

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