자연계열 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle f(x)=x+\ln(1-x)+\frac{x^2}{2(1-x)}$는 $\displaystyle f(0)=0$이고, $\displaystyle 0\leq x<1$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x^2}{2(1-x)^2}\geq0$이므로 $\displaystyle f(x)\geq0$이다. 따라서 주어진 부등식을 얻는다.

(3-2) 점 $\displaystyle C$, $\displaystyle D$의 좌표는 각각 $\displaystyle (n,\ln n)$, $\displaystyle (n+1,\ln(n+1))$이다. 그리고 점 $\displaystyle D$에서의 $\displaystyle y=\ln x$에서의 접선은 $\displaystyle y=\frac{1}{n+1}(x-n-1)+\ln(n+1)$이므로, 점 $\displaystyle E$의 좌표는 $\displaystyle \left(n,-\frac{1}{n+1}+\ln(n+1)\right)$이다.

점들의 좌표로부터 사다리꼴의 넓이를 구하면$\displaystyle a_n=\frac{\ln n+\ln(n+1)}{2},\quad c_n=\ln(n+1)-\frac{1}{2(n+1)}$이다. 따라서 $\displaystyle c_n-a_n=\frac{1}{2}\left(\ln\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$이다.

(3-3) 문항 (3-1), (3-2)의 결과를 이용하면$\displaystyle c_n-a_n=\frac{1}{2}\left[-\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{n+1}\right]\leq\frac{1}{4n(n+1)}$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(b_k-a_k)<\sum_{k=1}^{n}(c_k-a_k)\leq\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4(n+1)}<\frac{1}{4}$임을 알 수 있다.

(3-4) 문항 (3-3) 의 결과를 이용하면 $\displaystyle n\geq2$에 대하여$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k-\frac{1}{4}<\sum_{k=1}^{n-1}a_k<\sum_{k=1}^{n-1}b_k$임을 알 수 있다. 그리고$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_k=\ln2+\ln3+\cdots+\ln(n-1)+\frac{1}{2}\ln n$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k=\int_1^n\ln x\,dx=n\ln n-n+1$이므로$\displaystyle \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+\frac{3}{4}<\ln2+\ln3+\cdots+\ln(n-1)+\ln n<\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+1$이다.

따라서 $\displaystyle n\geq2$에 대하여 $\displaystyle e^{\frac{3}{4}}\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}<n!<e\times\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}$를 얻는다.