자연계열 3번

동일 문항

의예과 2번

인하대 2020학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_3

(가) (사이값 정리) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이면 $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 값 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k\quad(a<c<b)$ 인 $\displaystyle c$ 가 적어도 하나 존재한다.

(나) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 의 합성함수 $\displaystyle f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x))=f^\prime(g(x))g^\prime(x)$ 이다.

(*) 상수 $\displaystyle a\;(a>0)$ 와 함수 $\displaystyle f(x)=x^2(x+a)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle g^\prime(-1)>0$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(g(x))=x^2(x+3)^2e^x$ 을 만족한다.

(3-1) 함수 $\displaystyle y=x^2(x+3)^2e^x$ 의 그래프의 개형을 그리시오. (단, 극대와 극소는 표시하되, 그래프의 오목과 볼록은 고려하지 않는다.)

(3-2) 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

(3-3) $\displaystyle g(0)$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_3

+2점 · 주어진 함수를 미분하여

\displaystyle y^\prime=e^xx(x+1)(x+3)(x+6)

를 얻으면

(3-1) $\displaystyle y^\prime=e^xx(x+1)(x+3)(x+6)$ 이므로, 함수의 증감은 다음 표와 같다.

$x$	⋯	−6	⋯	−3	⋯	−1	⋯	0	⋯
$f^{\prime}(x)$	+	0	−	0	+	0	−	0	+
$f(x)$	↗	$\frac{324}{e^6}$	↘	0	↗	$\frac4e$	↘	0	↗

+3점 · 도함수를 이용하여 함수의 증감을 판단하고 그래프의 개형을 그리면

따라서 그래프의 개형은 다음과 같다.

+4점 · 합성함수 미분법을 이용하여

\displaystyle g(-1)=0

또는

\displaystyle g(-1)=-\frac{2a}3

임을 얻으면

(3-2) 합성함수 미분법에 의해 $\displaystyle f^\prime(g(-1))g^\prime(-1)=0$ 이고 $\displaystyle g^\prime(-1)>0$ 이므로 $\displaystyle f^\prime(g(-1))=0$ 이다. 또한 $\displaystyle f^\prime(x)=x(3x+2a)$ 이므로, $\displaystyle g(-1)=0$ 이거나 $\displaystyle g(-1)=-\frac{2a}3$ 이다.

+5점 · 함수의 성질로부터

\displaystyle g(-1)\ne0

임을 알고,

\displaystyle g(-1)=-\frac{2a}3

를 얻으면

하지만 $\displaystyle f(g(-1))=4e^{-1}$ 이므로 $\displaystyle g(-1)\ne0$ 이다. 따라서 $\displaystyle g(-1)=-\frac{2a}3$ 이고

+6점 ·

\displaystyle a=3e^{-1/3}

을 얻으면

$\displaystyle \frac4{27}a^3=f(g(-1))=4e^{-1}$ 이므로, $\displaystyle a=3e^{-1/3}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle x

가 충분히 크면

\displaystyle g(x)

가 양수임을 알아내면

(3-3) $\displaystyle e^a(a+3)^2>a$ 이므로 $\displaystyle f(g(a))=e^aa^2(a+3)^2>a^3>\frac{4a^3}{27}$ 이다. 함수 $\displaystyle f$ 의 극댓값이 $\displaystyle \frac{4a^3}{27}$ 이므로 $\displaystyle g(a)$ 는 유일하게 결정되고, $\displaystyle g(a)>0$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle g(0)=0

이거나

\displaystyle g(0)=-a

임을 얻으면

또한 $\displaystyle f(g(0))=0$ 이므로 $\displaystyle g(0)=0$ 이거나 $\displaystyle g(0)=-a$ 이다.

+8점 · 사이값 정리를 적용하여

\displaystyle g(0)=0

을 얻으면

만약 $\displaystyle g(0)=-a<0$ 이면 사이값정리에 의해 $\displaystyle g(s)=0$ 인 $\displaystyle s$ 가 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle a$ 사이에 존재한다. 그러면 $\displaystyle 0=f(g(s))=e^ss^2(s+3)^2>0$ 이므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle g(0)=0$ 이다.

<참고>

문제의 미분가능한 함수 $\displaystyle g$ 는 존재한다. 함수 $\displaystyle f_1,f_2,f_3$ 를 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle \begin{aligned}f_1(x)&=x^2(x+3e^{-1/3})\quad(x<-2e^{-1/3})\\f_2(x)&=x^2(x+3e^{-1/3})\quad(-2e^{-1/3}\le x<0)\\f_3(x)&=x^2(x+3e^{-1/3})\quad(x\ge0)\end{aligned}$

함수 $\displaystyle h(x)=e^xx^2(x+3)^2$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}f_1^{-1}(h(x))&(x<-1)\\f_2^{-1}(h(x))&(-1\le x<0)\\f_3^{-1}(h(x))&(x\ge0)\end{cases}$ 로 두면 함수 g는 문제의 조건을 만족한다.

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