자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle G$에서 평면 $\displaystyle ABC$ (즉 $\displaystyle xy$평면)에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라고 하면, $\displaystyle \overline{GA}=\overline{GB}=\overline{GC}$에서 $\displaystyle \overline{HA}=\overline{HB}=\overline{HC}=\sqrt{\overline{GA}^2-\overline{GH}^2}$이므로 $\displaystyle H$는 삼각형 $\displaystyle ABC$의 외심이다

점 $\displaystyle H$는 $\displaystyle xy$평면에서 두 변 $\displaystyle AB$와 $\displaystyle AC$의 수직이등분선 $\displaystyle y=3$과 $\displaystyle y-2=-\frac12(x-1)$의 교점이므로 좌표는 $\displaystyle (3,1,0)$이다.Correction. 변 $\displaystyle AB$의 수직이등분선은 $\displaystyle y=3$이 아니라 $\displaystyle x=3$이다. 두 직선의 교점 $\displaystyle (3,1,0)$은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2-2) $\displaystyle I$에서 변 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle P$라고 하면, 삼수선의 정리에서 $\displaystyle H$와 $\displaystyle H^\prime$에서 변 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발도 $\displaystyle P$이다. 또한 네 점 $\displaystyle I,H,H^\prime,P$는 $\displaystyle BC$에 수직이고 점 $\displaystyle P$를 지나는 평면위에 있다.Correction. 네 점이 속하는 평면은 $\displaystyle BC$가 아니라 $\displaystyle AB$에 수직이다. $\displaystyle IP$, $\displaystyle HP$, $\displaystyle H^\prime P$가 모두 $\displaystyle AB$에 수직이라는 삼수선의 정리를 적용한 결과다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \overline{IH}=\overline{IH^\prime}=r$이고 $\displaystyle \overline{IP}=k$이고 두 직각삼각형 $\displaystyle IHP$와 $\displaystyle IH^\prime P$는 합동 (RHS합동)이므로, $\displaystyle \overline{HH^\prime}$의 길이는 직각삼각형 $\displaystyle IHP$의 꼭짓점 $\displaystyle H$에서 빗변 $\displaystyle IP$에 내린 수선의 길이 $\displaystyle \frac{r\sqrt{k^2-r^2}}k$의 2배이다. $\displaystyle \overline{HH^\prime}=\frac{2r\sqrt{k^2-r^2}}k$.

(2-3) $\displaystyle I(=G)$에서 네 면 $\displaystyle ABC,BCD,CAD,ABD$에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle H,J,K,L$이라고 하자.(2-1)과 (2-2)에서와 같은 논리에 의하여 6쌍의 이등변 삼각형 $\displaystyle JBC$와 $\displaystyle HBC$, $\displaystyle KCA$와 $\displaystyle HCA$, $\displaystyle LAB$와 $\displaystyle HAB$, $\displaystyle KCD$와 $\displaystyle JCD$, $\displaystyle JBD$와 $\displaystyle LBD$, $\displaystyle LAD$와 $\displaystyle KAD$는 서로 합동이다.

$\displaystyle \angle ALD=\angle AKD=\alpha$, $\displaystyle \angle BJD=\angle BLD=\beta$, $\displaystyle \angle CKD=\angle CJD=\gamma$라고 하면, $\displaystyle \angle BHC=2\pi-\beta-\gamma$, $\displaystyle \angle CHA=2\pi-\gamma-\alpha$, $\displaystyle \angle AHB=2\pi-\alpha-\beta$이고 세 각의 합은 $\displaystyle 2\pi$이므로 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=2\pi$이다. 따라서 $\displaystyle \angle BHC=\alpha$, $\displaystyle \angle CHA=\beta$, $\displaystyle \angle AHB=\gamma$이고 삼각형 $\displaystyle HBC$와 $\displaystyle LAD$, 삼각형 $\displaystyle HCA$와 $\displaystyle JBD$, 삼각형 $\displaystyle HAB$와 $\displaystyle KCD$는 각각 합동이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AD}=a,\overline{BD}=b,\overline{CD}=c$이다.