자연계열 3번

(3-1) 제시문 (가)의 치환적분법에 의해$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos f(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos2xdx+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos xdx+2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=2-\frac{3\sqrt{3}}{4}$이다.

(3-2) $\displaystyle t_1<t_2$인 두 상수 $\displaystyle t_1,t_2$에 대하여 $\displaystyle t=t_1$일 때 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f_1(x)$라 하고 $\displaystyle t=t_2$일 때 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f_2(x)$라 하면, 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle f_1(x)\le f_2(x)$이다. 또한 $\displaystyle 0\le f_1(x),f_2(x)\le\frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle \sin$은 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 증가함수이므로 $\displaystyle \sin f_1(x)\le\sin f_2(x)$이다.그러므로 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin f(x)dx$는 $\displaystyle t$가 증가하면 증가한다.

따라서 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin f(x)dx$의 최댓값은 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin2xdx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}$이다.

(3-3) $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\le f(x)$를 만족한다.

그러므로$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos g(x)dx\ge\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos f(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos2xdx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\pi}{2}dx=\frac{1}{2}$이다.

또한 $\displaystyle h(x)=\frac{\pi}{2}-g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$로 두면 $\displaystyle h(0)=0$, $\displaystyle h\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle h^{\prime}(x)\le2$를 만족한다.그러므로 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)\le f(x)$를 만족하고,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos g(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin h(x)dx\le\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin f(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin2xdx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}dx=\frac{\pi+2}{4}$이다.