자연계열 2번

(2-1) (a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=a-\frac{1}{(x-3)^2}=0$으로부터 이것이 근을 가지려면 $\displaystyle a>0$이어야 하고 근을 구하면 $\displaystyle c=3-\frac{1}{\sqrt{a}}$이 된다.

이 값이 구간 $\displaystyle (-1,1)$에 있기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle \frac{1}{16}<a<\frac{1}{4}$이다.Note. 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$가 유한한 값으로 존재하면, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다고 한다. 이 극한값을 $\displaystyle x=a$에서의 미분계수라 하고, $\displaystyle f^{\prime}(a)$로 나타낸다.$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$Comment. 이 문제의 함수는 $\displaystyle [-1,1]$에서만 정의되어 있다. 미분계수는 양쪽 극한으로 정의하므로, $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$인 $\displaystyle c$는 $\displaystyle -1<c<1$에서 찾는다. $\displaystyle a=\frac{1}{(3-c)^2}$이므로 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle \frac1{16}<a<\frac14$이다.

(b) $\displaystyle f(-1)=f(1)$은 $\displaystyle -a+b-\frac{1}{4}=a+b-\frac{1}{2}$란 뜻이고, 이것을 풀면$\displaystyle a=\frac{1}{8}$을 얻는다.

(c) $\displaystyle a=\frac{1}{8}$일 때, $\displaystyle c=3-2\sqrt{2}$에서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 값은 $\displaystyle 0$이다. $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [-1,3-2\sqrt{2}]$에서 증가하고 구간 $\displaystyle [3-2\sqrt{2},1]$에서 감소한다. (또는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{(x-3)^3}<0$이다.) 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle c=3-2\sqrt{2}$에서 극댓값이자 최댓값을 갖는다.

그러므로 최댓값은 $\displaystyle f(3-2\sqrt{2})=b+\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.

(d) 최솟값은 $\displaystyle f(-1)=f(1)=b-\frac{3}{8}$이므로, 부등식

$\displaystyle -\frac{1}{40}<b-\frac{3}{8}<b+\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{40}$로부터 다음과 같은 $\displaystyle b$의 범위를 얻는다.$\displaystyle \frac{7}{20}<b<\frac{10\sqrt{2}-7}{20}$

(2-2) $\displaystyle \left|\frac{1}{3}\left(\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{3}x+1\right)+\frac{1}{x-3}\right|=\left|\frac{x^3}{27(x-3)}\right|\le\frac{|x|}{27|x-3|}$이다.

이때, 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle |x|\le1$이고, $\displaystyle |x-3|\ge2$이므로 $\displaystyle \frac{|x|}{27|x-3|}\le\frac{1}{27\cdot2}<\frac{1}{50}$이다.