자연계열 2번

(2-1) (a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=a-\frac{1}{(x-3)^2}=0$으로부터 이것이 근을 가지려면 $\displaystyle a>0$이어야 하고 근을 구하면 $\displaystyle c=3-\frac{1}{\sqrt{a}}$이 된다. 이 값이 구간 $\displaystyle (-1,1)$에 있기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle \frac{1}{16}<a<\frac{1}{4}$이다.Comment. 질문은 $\displaystyle c$가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에 존재하는 조건이다. $\displaystyle c=-1,1$도 가능하므로 답은 $\displaystyle \frac1{16}\le a\le\frac14$이다. 원문 답안은 열린구간을 적용했다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(b) $\displaystyle f(-1)=f(1)$은 $\displaystyle -a+b-\frac{1}{4}=a+b-\frac{1}{2}$란 뜻이고, 이것을 풀면$\displaystyle a=\frac{1}{8}$을 얻는다.

(c) $\displaystyle a=\frac{1}{8}$일 때, $\displaystyle c=3-2\sqrt{2}$에서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 값은 $\displaystyle 0$이다. $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [-1,3-2\sqrt{2}]$에서 증가하고 구간 $\displaystyle [3-2\sqrt{2},1]$에서 감소한다. (또는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{(x-3)^3}<0$이다.) 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle c=3-2\sqrt{2}$에서 극댓값이자 최댓값을 갖는다. 그러므로 최댓값은 $\displaystyle f(3-2\sqrt{2})=b+\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.

(d) 최솟값은 $\displaystyle f(-1)=f(1)=b-\frac{3}{8}$이므로, 부등식$\displaystyle -\frac{1}{40}<b-\frac{3}{8}<b+\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{40}$로부터 다음과 같은 $\displaystyle b$의 범위를 얻는다.$\displaystyle \frac{7}{20}<b<\frac{10\sqrt{2}-7}{20}$

(2-2) $\displaystyle \left|\frac{1}{3}\left(\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{3}x+1\right)+\frac{1}{x-3}\right|=\left|\frac{x^3}{27(x-3)}\right|\le\frac{|x|}{27|x-3|}$이다.이때, 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle |x|\le1$이고, $\displaystyle |x-3|\ge2$이므로 $\displaystyle \frac{|x|}{27|x-3|}\le\frac{1}{27\cdot2}<\frac{1}{50}$이다.