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자연계열 3번

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인하대 2024학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2024su/jayeon_3

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[문제 3] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (매개변수로 나타낸 함수의 미분법)두 함수 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)가 t\displaystyle t에 대하여 미분가능하고 f′(t)≠0\displaystyle f^{\prime}(t)\neq0이면dydx=dydtdxdt=g′(t)f′(t)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}

(나) (정적분의 치환적분법)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)에 대하여 a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x)dx=∫αβf(g(t))g′(t)dt\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)dt

(다) 삼각함수의 덧셈정리에 의해 cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha이므로cos⁡2α=1+cos⁡2α2,sin⁡2α=1−cos⁡2α2\displaystyle \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\quad\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}

(※) 0≤p≤2π\displaystyle 0\le p\le2\pi인 실수 p\displaystyle p에 대하여 두 곡선 y=(x−p)2+q\displaystyle y=(x-p)^2+q와 y=cos⁡x\displaystyle y=\cos x가 오직 한 점에서 만날 때의 q\displaystyle q의 값을 g(p)\displaystyle g(p)라 하자. 이때 함수 g(p)\displaystyle g(p)는 p\displaystyle p에 대하여 미분가능하다.

(3-1) 두 곡선이 오직 한 점에서 만날 때, 교점의 x\displaystyle x좌표를 t\displaystyle t라 하자. 이때 p\displaystyle p와 q\displaystyle q를 각각 t\displaystyle t의 식으로 나타내시오. (8점)

(3-2) g′(π4+24)\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)의 값을 구하시오. (10점)

(3-3) 정적분 ∫02πg(x)dx\displaystyle \int_0^{2\pi}g(x)dx의 값을 구하시오. (12점)

해설강의 준비중

인하대 2024학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2024su/jayeon_3

+6점 · 두 곡선이 한 점에서 만날 조건을 찾으면

(3-1) 한 점에서 만나는 경우 교점에서 접선의 기울기가 일치해야 하므로 두 방정식 (t−p)2+q=cos⁡t\displaystyle (t-p)^2+q=\cos t, 2(t−p)=−sin⁡t\displaystyle 2(t-p)=-\sin t를 얻는다.

+2점 · p,q\displaystyle p,q를 t\displaystyle t로 표현하면

p,q\displaystyle p,q를 각각 t\displaystyle t에 대하여 풀면p=t+sin⁡t2, q=cos⁡t−(sin⁡t2)2\displaystyle p=t+\frac{\sin t}{2},\ q=\cos t-\left(\frac{\sin t}{2}\right)^2

+2점 · t=π4\displaystyle t=\frac{\pi}{4}를 찾으면
+6점 · dqdt\displaystyle \frac{dq}{dt}, dpdt\displaystyle \frac{dp}{dt}를 구하면

(3-2) dpdt=1+cos⁡t2>0\displaystyle \frac{dp}{dt}=1+\frac{\cos t}{2}>0이므로 p=π4+24\displaystyle p=\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}인 t\displaystyle t는 t=π4\displaystyle t=\frac{\pi}{4}가 유일하다.

+2점 · g′(π4+24)\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)를 구하면

제시문 (가)를 이용하여 g′(π4+24)\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)를 구하면g′(π4+24)=q′(π4)p′(π4)=−sin⁡π4=−22\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{q^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{p^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)}=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

+4점 · 치환적분을 올바르게 적용하면
+8점 · 적분값을 정확히 계산하면

(3-3) 제시문 (나)와 (다)를 이용하여 적분을 계산하면∫02πg(x)dx=∫02π(cos⁡t−(sin⁡t2)2)(1+cos⁡t2)dt=∫02π(cos⁡t+cos⁡2t2−sin⁡2t4−sin⁡2tcos⁡t8)dt=∫02π(1+cos⁡2t4−1−cos⁡2t8−sin⁡2tcos⁡t8)dt=[18t+316sin⁡2t−124sin⁡3t]02π=π4\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}g(x)dx&=\int_0^{2\pi}\left(\cos t-\left(\frac{\sin t}{2}\right)^2\right)\left(1+\frac{\cos t}{2}\right)dt=\int_0^{2\pi}\left(\cos t+\frac{\cos^2t}{2}-\frac{\sin^2t}{4}-\frac{\sin^2t\cos t}{8}\right)dt\\&=\int_0^{2\pi}\left(\frac{1+\cos2t}{4}-\frac{1-\cos2t}{8}-\frac{\sin^2t\cos t}{8}\right)dt=\Biggl[\frac{1}{8}t+\frac{3}{16}\sin2t-\frac{1}{24}\sin^3t\Biggr]_0^{2\pi}=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

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