자연계열 2번

(2-1) 거리가 최소가 되는 점은 직선 $\displaystyle y=tx$와 평행인 접선을 갖는 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 위의 점이므로 $\displaystyle P(\ln t,t)$이고 $\displaystyle r(t)$는 점 $\displaystyle P$와 직선 $\displaystyle y=tx$ 사이의 거리이므로 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle r(t)=\frac{t-t\ln t}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{t(1-\ln t)}{\sqrt{t^2+1}}\ (0<t<e)$이다.

(2-2) $\displaystyle r^{\prime}(t)=\frac{-\ln t-t^2}{(t^2+1)\sqrt{t^2+1}}$이므로 $\displaystyle r^{\prime}(t)=0$을 계산하면 $\displaystyle \ln t=-t^2$을 얻고 이때의 $\displaystyle t$를 $\displaystyle a$라 하자.$\displaystyle 0<t<a$에서 $\displaystyle -t^2>\ln t$이므로 $\displaystyle r^{\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle a<t<e$에서 $\displaystyle -t^2<\ln t$이므로 $\displaystyle r^{\prime}(t)<0$이다. 그러므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle r(t)$는 최댓값 $\displaystyle a\sqrt{a^2+1}$을 갖는다. 원 $\displaystyle C_a$의 방정식이 $\displaystyle x^2+2a^2x+y^2-2ay=0$이므로 원점을 지난다.

(2-3) 원 $\displaystyle C_a$의 방정식이 $\displaystyle x^2+2a^2x+y^2-2ay=0$이므로 좌표축과 만나는 점은 $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(0,2a)$, $\displaystyle B(-2a^2,0)$이다. 원 $\displaystyle C_a$를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\pi r^2+\triangle ABO$의 넓이 $\displaystyle =\frac{1}{2}\pi a^2(a^2+1)+2a^3=\frac{\pi}{2}a^4+2a^3+\frac{\pi}{2}a^2=a^2\left(\frac{\pi}{2}a^2+2a+\frac{\pi}{2}\right)$이다.(단, 여기서 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \ln a=-a^2$인 상수이다.)