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자연계열 (오후) 3번

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인하대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2026su/jayeon_pm_3

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[문제 3] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (정적분의 치환적분법)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)에 대하여 a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x)dx=∫αβf(g(t))g′(t)dt\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt

(나) (나누어진 구간에서의 정적분)임의의 세 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c를 포함하는 구간에서 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 연속일 때∫acf(t)dt+∫cbf(t)dt=∫abf(t)dt\displaystyle \int_a^c f(t)dt+\int_c^b f(t)dt=\int_a^b f(t)dt

(3-1) 0<a<π2\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}인 실수 a\displaystyle a에 대하여∫0a11+sin⁡tdt\displaystyle \int_0^a\frac{1}{1+\sin t}dt를 구하시오. [10점]

(3-2) 0<a<π2\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}인 실수 a\displaystyle a에 대하여∫0atsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π−aπtsin⁡t1+sin⁡tdt\displaystyle \int_0^a\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt를 구하시오. [10점]

(3-3) 0≤x≤π\displaystyle 0\le x\le\pi인 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)=∫0xtsin⁡t1+sin⁡tdt\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt라 할 때, 극한lim⁡h→0+12h(f(π2+h)−f(π2−h))\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{1}{2h}\left(f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}-h\right)\right)의 값을 구한 후, f(π)\displaystyle f(\pi)의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2026su/jayeon_pm_3

+3점 · 함수의 분자와 분모에 1−sin⁡t\displaystyle 1-\sin t를 곱하여 식을 변형하면
+3점 · sin⁡2t+cos⁡2t=1\displaystyle \sin^{2}t+\cos^{2}t=1을 활용하여 주어진 함수를 sec⁡2t+sec⁡ttan⁡t\displaystyle \sec^{2}t+\sec t\tan t로 변형하면

Correction. 1/(1+sin⁡t)\displaystyle 1/(1+\sin t)를 변형하면 sec⁡2t−sec⁡ttan⁡t\displaystyle \sec^2t-\sec t\tan t이다. 두 채점기준의 더하기 부호는 빼기의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+4점 · sec⁡2t+sec⁡ttan⁡t\displaystyle \sec^{2}t+\sec t\tan t의 적분값을 구하면

(3-1) 0<a<π2\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}인 실수 a\displaystyle a에 대하여,∫0a11+sin⁡tdt=∫0a1−sin⁡t(1+sin⁡t)(1−sin⁡t)dt=∫0a1−sin⁡t1−sin⁡2tdt=∫0a1−sin⁡tcos⁡2tdt=∫0a(sec⁡2t−tan⁡tsec⁡t)dt=[tan⁡t−sec⁡t]0a=tan⁡a−sec⁡a+1\displaystyle \begin{aligned}\int_0^a\frac{1}{1+\sin t}dt&=\int_0^a\frac{1-\sin t}{(1+\sin t)(1-\sin t)}dt=\int_0^a\frac{1-\sin t}{1-\sin^{2}t}dt=\int_0^a\frac{1-\sin t}{\cos^{2}t}dt\\&=\int_0^a(\sec^{2}t-\tan t\sec t)dt=\Biggl[\tan t-\sec t\Biggr]_0^a=\tan a-\sec a+1\end{aligned}이다.

+5점 · 정적분의 치환적분법을 사용하여 주어진 정적분을 ∫0xsin⁡t1+sin⁡tdt\displaystyle \int_0^x\frac{\sin t}{1+\sin t}dt에 관한 식으로 표현하면

Correction. 이 문항에서 적분의 상한은 a\displaystyle a이므로 채점기준의 x\displaystyle x는 a\displaystyle a의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3-2) 0<a<π2\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}인 실수 a\displaystyle a에 대하여, 제시문 (가)에 의하여 (t=π−y\displaystyle t=\pi-y)∫0atsin⁡t1+sin⁡tdt=∫π−aπ(π−y)sin⁡y1+sin⁡ydy=π∫π−aπsin⁡y1+sin⁡ydy−∫π−aπysin⁡y1+sin⁡ydy\displaystyle \int_0^a\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt=\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{(\pi-y)\sin y}{1+\sin y}dy=\pi\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{\sin y}{1+\sin y}dy-\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{y\sin y}{1+\sin y}dy이다.

+5점 · 주어진 정적분의 값을 구하면

(3-1)과 제시문 (가)에 의하여 (y=π−t\displaystyle y=\pi-t)∫0atsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π−aπtsin⁡t1+sin⁡tdt=π∫π−aπsin⁡y1+sin⁡ydy=π∫0asin⁡t1+sin⁡tdt=π∫0a(1−11+sin⁡t)dt=πa−π∫0a11+sin⁡tdt=π(a−tan⁡a+sec⁡a−1)\displaystyle \begin{aligned}\int_0^a\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt&=\pi\int_{\pi-a}^{\pi}\frac{\sin y}{1+\sin y}dy=\pi\int_0^a\frac{\sin t}{1+\sin t}dt\\&=\pi\int_0^a\left(1-\frac{1}{1+\sin t}\right)dt=\pi a-\pi\int_0^a\frac{1}{1+\sin t}dt\\&=\pi(a-\tan a+\sec a-1)\end{aligned}이다.

+3점 · 미분계수의 정의와 적분과 미분의 관계를 사용하여 주어진 극한값을 구하면

(3-3) 미분계수의 정의와 적분과 미분의 관계에 의하여,lim⁡h→0+12h(f(π2+h)−f(π2−h))=lim⁡h→0+f(π2+h)−f(π2)2h+lim⁡h→0+f(π2−h)−f(π2)2(−h)=f′(π2)=π2sin⁡π21+sin⁡π2=π4\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^+}\frac{1}{2h}\left(f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}-h\right)\right)&=\lim_{h\to0^+}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2h}+\lim_{h\to0^+}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2(-h)}\\&=f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}}{1+\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}\end{aligned}이다.

+4점 · 이를 활용하여 lim⁡h→0+∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt=0\displaystyle \lim_{h\to0^+}\int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt=0임을 확인하면

따라서lim⁡h→0+∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt=lim⁡h→0+(f(π2+h)−f(π2−h))=0\displaystyle \lim_{h\to0^+}\int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt=\lim_{h\to0^+}\left(f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}-h\right)\right)=0이다.

+4점 · f(π)=∫0π2−htsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π2+hπtsin⁡t1+sin⁡tdt\displaystyle f(\pi)=\int_0^{\frac{\pi}{2}-h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\frac{\pi}{2}+h}^{\pi}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt로 표현하면
+4점 · 삼각함수의 극한값을 계산하여 f(π)\displaystyle f(\pi)를 구하면

제시문 (나)와 (3-2)에 의하여 (a=π2−h\displaystyle a=\frac{\pi}{2}-h)f(π)=lim⁡h→0+f(π)=lim⁡h→0+(∫0π2−htsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π2+hπtsin⁡t1+sin⁡tdt)=lim⁡h→0+(∫0π2−htsin⁡t1+sin⁡tdt+∫π2+hπtsin⁡t1+sin⁡tdt)+lim⁡h→0+∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt=lim⁡h→0+{π(π2−h)−πtan⁡(π2−h)+πsec⁡(π2−h)−π}=π22−π−πlim⁡h→0+sin⁡(π2−h)−1cos⁡(π2−h)=π22−π−πlim⁡h→0+cos⁡h−1sin⁡h=π22−π−πlim⁡h→0+(cos⁡h−1)(cos⁡h+1)sin⁡h(cos⁡h+1)=π22−π+πlim⁡h→0+sin⁡hcos⁡h+1=π22−π\displaystyle \begin{aligned}f(\pi)&=\lim_{h\to0^+}f(\pi)=\lim_{h\to0^+}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}-h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\frac{\pi}{2}+h}^{\pi}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt\right)\\&=\lim_{h\to0^+}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}-h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt+\int_{\frac{\pi}{2}+h}^{\pi}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt\right)+\lim_{h\to0^+}\int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt\\&=\lim_{h\to0^+}\left\{\pi\left(\frac{\pi}{2}-h\right)-\pi\tan\left(\frac{\pi}{2}-h\right)+\pi\sec\left(\frac{\pi}{2}-h\right)-\pi\right\}\\&=\frac{\pi^{2}}{2}-\pi-\pi\lim_{h\to0^+}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-h\right)-1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-h\right)}=\frac{\pi^{2}}{2}-\pi-\pi\lim_{h\to0^+}\frac{\cos h-1}{\sin h}\\&=\frac{\pi^{2}}{2}-\pi-\pi\lim_{h\to0^+}\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{\sin h(\cos h+1)}=\frac{\pi^{2}}{2}-\pi+\pi\lim_{h\to0^+}\frac{\sin h}{\cos h+1}=\frac{\pi^{2}}{2}-\pi\end{aligned}이다.

(3-3) ∫π2−hπ2+htsin⁡t1+sin⁡tdt\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-h}^{\frac{\pi}{2}+h}\frac{t\sin t}{1+\sin t}dt를 고려하지 않고 f(π)\displaystyle f(\pi)의 값을 구하면 최대 4점 감점

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