자연계열 (오후) 2번

(2-1) 두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{a}{c}x+a$이고 두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{a}{b}x+a$이다. $\displaystyle R$과 $\displaystyle S$의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle r$, $\displaystyle s$라 하면 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle P\left(s,\frac{a}{b}s+a\right)$, $\displaystyle Q\left(r,-\frac{a}{c}r+a\right)$이다. $\displaystyle \overline{PS}=\overline{QR}$이므로$\displaystyle \frac{a}{b}s+a=-\frac{a}{c}r+a$이다. 따라서 $\displaystyle cs+br=0$. 또한, $\displaystyle \overline{QR}=\overline{SR}$이므로$\displaystyle -\frac{a}{c}r+a=r-s=r+\frac{br}{c}$이다. 따라서 $\displaystyle r=\frac{ac}{a+b+c}$, $\displaystyle s=-\frac{ab}{a+b+c}$이고 정사각형 $\displaystyle PQRS$의 변의 길이는 $\displaystyle \frac{a(b+c)}{a+b+c}$이다. 따라서 넓이는 $\displaystyle \frac{a^{2}(b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$이다.

(2-2) 삼각형 $\displaystyle ABC$의 변 $\displaystyle BC$의 길이를 $\displaystyle x$라 하자. 그러면 (2-1)에서 $\displaystyle \overline{BC}=b+c=x$이고 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이가 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle a=\frac{2}{x}$이다. 이를 (2-1)에서 구한 정사각형 $\displaystyle PQRS$의 넓이에 대입하면 $\displaystyle \left(\frac{2x}{x^{2}+2}\right)^{2}$이 된다. 넓이가 최대가 되는 $\displaystyle x$를 구하기 위해서 $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^{2}+2}$가 최대가 되는 $\displaystyle x$를 구하면 된다. (단, $\displaystyle x>0$) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-2x^{2}+4}{(x^{2}+2)^{2}}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=\sqrt{2}$이다. $\displaystyle x>0$이므로 증감 관계를 확인하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt{2}$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$를 갖는다.

(2-3) (2-2)에서 선분 $\displaystyle BC$의 길이를 $\displaystyle x$라 할 때 $\displaystyle \overline{PQ}=\frac{2x}{x^{2}+2}$이다. 삼각형 $\displaystyle ABC$와 삼각형 $\displaystyle APQ$는 서로 닮음이고 닮음비가 $\displaystyle x:\frac{2x}{x^{2}+2}$이다. 따라서 $\displaystyle XY$의 길이는 $\displaystyle \overline{PQ}\cdot\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}}=\frac{4x}{(x^{2}+2)^{2}}$이고 사각형 $\displaystyle XYZW$의 넓이는 $\displaystyle \frac{16x^{2}}{(x^{2}+2)^{4}}$이다. 그러므로 정사각형 $\displaystyle PQRS$와 $\displaystyle XYZW$의 넓이의 차는$\displaystyle g(x)=\left(\frac{2x}{x^{2}+2}\right)^{2}-\frac{16x^{2}}{(x^{2}+2)^{4}}$

이고, 이 값이 최대가 되는 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle d$가 된다. $\displaystyle x^{2}=y$라 하면 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같이 $\displaystyle y$의 식으로 나타낼 수 있다.$\displaystyle h(y)=\frac{4y}{(y+2)^{2}}-\frac{16y}{(y+2)^{4}}=\frac{4(y^{3}+4y^{2})}{(y+2)^{4}}\quad(y>0)$함수 $\displaystyle h(y)$가 최대가 되는 $\displaystyle y$의 값이 $\displaystyle d^{2}$이다.$\displaystyle h^{\prime}(y)=\frac{-4y(y^{2}+2y-16)}{(y+2)^{5}}\quad(y>0)$이므로 $\displaystyle h(y)$는 $\displaystyle y=-1+\sqrt{17}$에서 극값을 갖고, $\displaystyle y<-1+\sqrt{17}$이면 $\displaystyle h^{\prime}(y)>0$이고 $\displaystyle y>-1+\sqrt{17}$이면 $\displaystyle h^{\prime}(y)<0$이므로 $\displaystyle h(y)$는 $\displaystyle y=-1+\sqrt{17}$에서 최댓값을 갖는다. 그러므로 $\displaystyle d^{2}=-1+\sqrt{17}$이다.