공학계열 3번

i)

포물선 방정식 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$에 $\displaystyle (x=0,\ y=0)$을 대입하면 $\displaystyle c=0$.

$\displaystyle (x=2,\ y=1.95)$ 그리고 $\displaystyle (x=10,\ y=8.75)$을 대입하면, $\displaystyle a=-\frac1{80},\ b=1$.

포탄 궤적의 포물선 방정식 $\displaystyle y=-\frac1{80}x^2+x$ 그리고 이를 x에 대해 미분하면 포물선 기울기 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac1{40}x+1=\tan\theta$을 얻는다.

여기에 x=0을 대입하면 경사각 $\displaystyle \theta=\tan^{-1}(1)=\frac\pi4$

ii)

x 방향의 속도는, $\displaystyle v_x=\frac2{0.1}=20\ \mathrm{m/s}$

$\displaystyle v_x=v_0\cos\theta=20\ \mathrm{m/s}$을 이용하면.

초기속도 $\displaystyle v_0=20/\cos\left(\frac\pi4\right)=20\sqrt2\ (\mathrm{m/s})$

iii)

포물선 방정식이 0이 되는 x 값은 0과 80을 얻을 수 있다.

$\displaystyle y=-\frac1{80}x^2+x=-\frac1{80}x(x-80)=0$, 따라서 A의 거리 x=80 m.

x 방향의 속도로 20m/s로 나누어 주면, 도달 시간은 4초가 된다.

포물선 방정식을 x에 대해 미분 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac1{40}x+1$, x=60m을 대입하면

$\displaystyle y^{\prime}=-\frac{60}{40}+1=-\frac12$

따라서 x=60m 지점에서 포물선의 기울기 $\displaystyle \tan\theta=-\frac12$

x방향의 속도는 항상 일정하다.$\displaystyle v_x=20\ \mathrm{m/s}$

y방향의 속도 $\displaystyle v_y=v_x\tan\theta=20\times\left(-\frac12\right)=-10\ \mathrm{m/s}$

원점에서부터 A점의 x방향 거리는 80m, B점의 x방향 거리는 40m

포탄의 수직방향의 속도가 0 되는 시간 $\displaystyle t=\frac{v_0\sin\theta}{g}$

포탄이 지면에 도달한 시간은 $\displaystyle 2t$, 시간 $\displaystyle 2t$를 $\displaystyle x=v_0\cos\theta\,t$에 대입하면,

포탄이 움직인 수평방향의 거리, $\displaystyle x=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

B점의 x방향 거리 x=40m를 대입하면, $\displaystyle \sin2\theta=\frac{g}{v_0^2}x=\frac{10\times40}{(20\sqrt2)^2}=\frac12$

$\displaystyle \therefore\theta=\frac\pi{12}$