한국항공대 2013학년도 수시 공학계열 1번 해설

[문제 1] (30점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

가) 두 점 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 잇는 선분 $\displaystyle AB$ 의 길이는 $\displaystyle \overline{AB}$ 로 표기한다.

나) 평면 위에 주어진 다각형의 각 부분의 질량이 균등할 때, 질량의 중심점을 평면 다각형의 무게중심이라 정의하자. 예를 들어, 삼각형에서는 세 개의 중선이 교차하는 점이다.

다) 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 주어진 정삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 세 꼭짓점의 위치에 슈퍼마켓을 건설하였고 편의상 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C$ 가 <그림 1-1>과 같이 각각의 슈퍼마켓을 나타낸다. 각각의 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C$ 에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 임의의 점 $\displaystyle P$ 까지의 거리 합 $\displaystyle D$ 를 $\displaystyle D= \overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC}$ 로 정의하였을 때(<그림 1-2> 참조), 이동거리를 최소로 하기 위하여 정삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심 위치에 슈퍼마켓 $\displaystyle A,B,C$ 를 총 관리하는 본부건물을 새로이 건설하였다. 즉, 임의의 점 $\displaystyle P$ 가 정삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심이 되면 $\displaystyle D$ 의 최솟값이 구해진다.

[문제 1] 평면 $\displaystyle \beta$ 에 주어진 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 꼭짓점 $\displaystyle S _{1} ,S _{2} , \cdots , S _{n}$ 의 위치에 슈퍼마켓을 건설하였다고 가정하자. <그림 1-3>은 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 일부분이고 꼭짓점 $\displaystyle S _{1} ,S _{2} ,S _{3}$ 는 슈퍼마켓을 나타낸다. 이때, $\displaystyle P _{n}$ 은 평면 $\displaystyle \beta$ 위의 한 점이다.

[문제 1-1] 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 무게중심이 $\displaystyle O$ 라고 할 때, 벡터 $\displaystyle \vec{P _{n} S _{1}} , \vec{P _{n} S _{2}} , \cdots , \vec{P _{n} S _{n}}$ 은 다음 관계가 성립함을 설명하시오:

$\displaystyle \vec{P _{n} S _{1}} + \vec{P _{n} S _{2}} + \vec{P _{n} S _{3}} + \cdots + \vec{P _{n} S _{n}} =n \vec{P _{n} O}$

[문제 1-2] 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 무게중심 $\displaystyle O$ 를 기준으로 $\displaystyle S _{k}$ 를 $\displaystyle S _{1}$ 으로 보내는 회전 $\displaystyle R$ 이 주어졌을 때, 회전 $\displaystyle R$ 에 의한 점 $\displaystyle P _{n}$ 의 대응점을 $\displaystyle Y _{k}$ 라고 하자 (단, $\displaystyle k=1,2, \cdots ,n$ ). 예를 들어, <그림 1-4>와 같이 정삼각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} S _{3}$ 와 점 $\displaystyle P _{3}$ 가 주어졌을 때, 벡터 $\displaystyle \vec{S _{2} P _{3}}$ 가 회전 $\displaystyle R$ 에 의하여 <그림 1-5>와 같이 $\displaystyle \vec{S _{1} Y _{2}}$ 가 된다. 이 때, 다음 관계가 성립함을 설명하시오:

$\displaystyle \vec{S _{1} Y _{1}} + \vec{S _{1} Y _{2}} + \vec{S _{1} Y _{3}} + \cdots + \vec{S _{1} Y _{n}} =n \vec{S _{1} O} + \vec{OY _{1}} + \vec{OY _{2}} + \cdots + \vec{OY _{n}}$

[문제 1-3] 평면 $\displaystyle \beta$ 위의 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 꼭짓점에서 임의의 점 $\displaystyle P _{n}$ 까지의 거리 합 $\displaystyle D _{n} = \overline{P _{n} S _{1}} + \overline{P _{n} S _{2}} + \overline{P _{n} S _{3}} + \cdots + \overline{P _{n} S _{n}}$ 을 구할 때, 점 $\displaystyle P _{n}$ 이 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 무게중심 $\displaystyle O$ 와 일치하면 거리 합 $\displaystyle D _{n}$ 이 최솟값이 됨을 설명하시오.

한국항공대 2013학년도 수시 공학계열 1번 · mathesis.kr/archive/kau/2013su/gonghak_1

<문제 1-1 풀이>

<1단계>

$\displaystyle \vec{P_nS_1}=\vec{P_nO}+\vec{OS_1}$ $\displaystyle \vec{P_nS_2}=\vec{P_nO}+\vec{OS_2}$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vec{P_nS_n}=\vec{P_nO}+\vec{OS_n}$ 에서 $\displaystyle \vec{P_nS_1}+\vec{P_nS_2}+\cdots+\vec{P_nS_n}=\vec{P_nO}+\vec{P_nO}+\cdots+\vec{P_nO}$ $\displaystyle \quad+\vec{OS_1}+\vec{OS_2}+\cdots+\vec{OS_n}$ $\displaystyle =n\vec{P_nO}+\vec{OS_1}+\vec{OS_2}+\cdots+\vec{OS_n}$

<2단계>

중심 $\displaystyle O$ 를 중심으로 벡터 $\displaystyle \vec{v} = \vec{OS _{1}} + \vec{OS _{2}} + \cdots + \vec{OS _{n}}$ 를 $\displaystyle \frac{360^\circ}{n}$ 회전시켜도 주어진 다각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 이 정 $\displaystyle n$ 각형이므로 벡터 $\displaystyle \vec{v}$ 의 위치가 변하지 않는다. 그러므로, 벡터 $\displaystyle \vec{v}$ 는 영벡터( $\displaystyle = \vec{O}$ )이다.

따라서, $\displaystyle \vec{P _{n} S _{1}} + \vec{P _{n} S _{2}} + \cdots + \vec{P _{n} S _{n}} =n \vec{P _{n} O}$

<문제 1-2 풀이>

<1단계>

정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 무게중심 $\displaystyle O$ 를 기준으로 $\displaystyle S_k$ 를 $\displaystyle S _{1}$ 으로 보내는 회전 $\displaystyle R$ 이 주어졌을 때, 회전 $\displaystyle R$ 에 의한 점 $\displaystyle P _{n}$ 의 대응점을 $\displaystyle Y _{k}$ 라 하자.

그러므로, $\displaystyle k=1,2,3, \cdots ,n$ 에 대하여 벡터 $\displaystyle \vec{S _{k} P _{n}}$ 는 회전 $\displaystyle R$ 에 의하여 $\displaystyle \vec{S _{1} Y _{k}}$ 이다. 회전 $\displaystyle R$ 에 의하여 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 과 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle Y _{1} Y _{2} \cdots Y _{n}$ 은 같은 무게중심 $\displaystyle O$ 를 가진다.

<2단계>

$\displaystyle \vec{S_1Y_1}+\vec{S_1Y_2}+\cdots+\vec{S_1Y_n}$ $\displaystyle =\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{S_1O}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{S_1O}+\vec{OY_n}$ $\displaystyle =n\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{OY_n}$ 따라서, $\displaystyle \vec{S_1Y_1}+\vec{S_1Y_2}+\cdots+\vec{S_1Y_n}=n\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{OY_n}$

<문제 1-3 풀이>

<1단계>

회전 $\displaystyle R$ 에 의하여

$\displaystyle \overline{S _{1} P _{n}} + \overline{S _{2} P _{n}} + \cdots + \overline{S _{n} P _{n}} = \overline{S _{1} Y _{1}} + \overline{S _{1} Y _{2}} + \cdots + \overline{S _{1} Y _{n}}$ 이다.

<문제 1-2풀이>를 이용하면, $\displaystyle \vec{OY _{1}} + \vec{OY _{2}} + \cdots + \vec{OY _{n}} = \vec{O}$ 이므로

$\displaystyle \vec{S _{1} Y _{1}} + \vec{S _{1} Y _{2}} + \cdots + \vec{S _{1} Y _{n}} =n \vec{S _{1} O} + \vec{OY _{1}} + \vec{OY _{2}} + \cdots + \vec{OY _{n}}$ $\displaystyle =n\vec{S_1O}$

<2단계>

$\displaystyle \overline{P_nS_1}+\overline{P_nS_2}+\cdots+\overline{P_nS_n}=\overline{S_1P_n}+\overline{S_2P_n}+\cdots+\overline{S_nP_n}$ $\displaystyle \geq n\overline{S_1O}$ $\displaystyle =\overline{S_1O}+\overline{S_2O}+\overline{S_3O}+\cdots+\overline{S_nO}$ 이다.

위의 부등식은 평면 위의 임의의 점 $\displaystyle P _{n}$ 에 대하여

$\displaystyle \overline{P _{n} S _{1}} + \overline{P _{n} S _{2}} + \cdots + \overline{P _{n} S _{n}} \geq \overline{S _{1} O} + \overline{S _{2} O} + \overline{S _{3} O} + \cdots + \overline{S _{n} O}$ 이므로

점 $\displaystyle P _{n}$ 이 정 $\displaystyle n$ 각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$ 의 무게중심 $\displaystyle O$ 와 일치하면 거리 합 $\displaystyle D _{n}$ 이 최솟값을 가지게 됨을 보이게 된다.

[문제 1-3]에 나타난 바와 같이, 거리 합의 최솟값은 무게중심을 선택할 경우라고 결론을 알려주고 있다. 그러므로 이러한 결론에 이르는 과정을 객관적이고 논리적으로 서술할 수 있는지를 평가한다.

[문제 1-1]과 [문제 1-2]를 해결하고 그 결과를 적용하는 과정 또한 논리의 전후관계가 명백하여야 한다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

공학계열 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개