공학계열 1번

<문제 1-1 풀이>

<1단계>

$\displaystyle \vec{P_nS_1}=\vec{P_nO}+\vec{OS_1}$$\displaystyle \vec{P_nS_2}=\vec{P_nO}+\vec{OS_2}$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle \vec{P_nS_n}=\vec{P_nO}+\vec{OS_n}$에서$\displaystyle \vec{P_nS_1}+\vec{P_nS_2}+\cdots+\vec{P_nS_n}=\vec{P_nO}+\vec{P_nO}+\cdots+\vec{P_nO}$$\displaystyle \quad+\vec{OS_1}+\vec{OS_2}+\cdots+\vec{OS_n}$$\displaystyle =n\vec{P_nO}+\vec{OS_1}+\vec{OS_2}+\cdots+\vec{OS_n}$

<2단계>

중심$\displaystyle O$를 중심으로 벡터 $\displaystyle \vec{v} = \vec{OS _{1}} + \vec{OS _{2}} + \cdots + \vec{OS _{n}}$를 $\displaystyle \frac{360^\circ}{n}$회전시켜도 주어진 다각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$이 정$\displaystyle n$각형이므로 벡터 $\displaystyle \vec{v}$의 위치가 변하지 않는다. 그러므로, 벡터 $\displaystyle \vec{v}$는 영벡터($\displaystyle = \vec{O}$)이다.

따라서, $\displaystyle \vec{P _{n} S _{1}} + \vec{P _{n} S _{2}} + \cdots + \vec{P _{n} S _{n}} =n \vec{P _{n} O}$

<문제 1-2 풀이>

<1단계>

정$\displaystyle n$각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$의 무게중심 $\displaystyle O$를 기준으로 $\displaystyle S_k$를 $\displaystyle S _{1}$으로 보내는 회전 $\displaystyle R$이 주어졌을 때, 회전 $\displaystyle R$에 의한 점 $\displaystyle P _{n}$의 대응점을 $\displaystyle Y _{k}$라 하자.

그러므로, $\displaystyle k=1,2,3, \cdots ,n$에 대하여 벡터 $\displaystyle \vec{S _{k} P _{n}}$는 회전$\displaystyle R$에 의하여 $\displaystyle \vec{S _{1} Y _{k}}$이다. 회전 $\displaystyle R$에 의하여 정$\displaystyle n$각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$과 정$\displaystyle n$각형 $\displaystyle Y _{1} Y _{2} \cdots Y _{n}$은 같은 무게중심 $\displaystyle O$를 가진다.

<2단계>

$\displaystyle \vec{S_1Y_1}+\vec{S_1Y_2}+\cdots+\vec{S_1Y_n}$$\displaystyle =\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{S_1O}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{S_1O}+\vec{OY_n}$$\displaystyle =n\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{OY_n}$따라서,$\displaystyle \vec{S_1Y_1}+\vec{S_1Y_2}+\cdots+\vec{S_1Y_n}=n\vec{S_1O}+\vec{OY_1}+\vec{OY_2}+\cdots+\vec{OY_n}$

<문제 1-3 풀이>

<1단계>

회전 $\displaystyle R$에 의하여

$\displaystyle \overline{S _{1} P _{n}} + \overline{S _{2} P _{n}} + \cdots + \overline{S _{n} P _{n}} = \overline{S _{1} Y _{1}} + \overline{S _{1} Y _{2}} + \cdots + \overline{S _{1} Y _{n}}$이다.

<문제 1-2풀이>를 이용하면, $\displaystyle \vec{OY _{1}} + \vec{OY _{2}} + \cdots + \vec{OY _{n}} = \vec{O}$이므로

$\displaystyle \vec{S _{1} Y _{1}} + \vec{S _{1} Y _{2}} + \cdots + \vec{S _{1} Y _{n}} =n \vec{S _{1} O} + \vec{OY _{1}} + \vec{OY _{2}} + \cdots + \vec{OY _{n}}$$\displaystyle =n\vec{S_1O}$

<2단계>

$\displaystyle \overline{P_nS_1}+\overline{P_nS_2}+\cdots+\overline{P_nS_n}=\overline{S_1P_n}+\overline{S_2P_n}+\cdots+\overline{S_nP_n}$$\displaystyle \geq n\overline{S_1O}$$\displaystyle =\overline{S_1O}+\overline{S_2O}+\overline{S_3O}+\cdots+\overline{S_nO}$이다.

위의 부등식은 평면 위의 임의의 점 $\displaystyle P _{n}$에 대하여

$\displaystyle \overline{P _{n} S _{1}} + \overline{P _{n} S _{2}} + \cdots + \overline{P _{n} S _{n}} \geq \overline{S _{1} O} + \overline{S _{2} O} + \overline{S _{3} O} + \cdots + \overline{S _{n} O}$ 이므로

점 $\displaystyle P _{n}$이 정$\displaystyle n$각형 $\displaystyle S _{1} S _{2} \cdots S _{n}$의 무게중심 $\displaystyle O$와 일치하면 거리 합 $\displaystyle D _{n}$이 최솟값을 가지게 됨을 보이게 된다.