이학계열 1번

<문제 1-1 풀이> (5점)

노동력을 1명 투입함으로 총이윤 함수에 $\displaystyle m=1$을 대입하면 다음과 같다.

$\displaystyle S(x)=-x^2+4x+\frac{11}{2}$

이 경우 총이윤을 최대로 만들기 위해서는 위 함수가 최댓값을 갖도록 설탕의 투입양 즉, $\displaystyle x$의 값을 결정해야 한다. 이를 위해 위 식을 다음과 같이 변형 한다.

$\displaystyle S(x)=-(x-2)^2+\frac{19}{2}$

제곱수는 0이상이므로 $\displaystyle -(x-2) ^{2}$이 0인 경우 위 함수는 최댓값을 갖게 된다. 따라서 노동력을 1명 투입하는 경우 제호가 설탕을 2톤 투입할 때 총이윤은 최대가 된다.

<문제 1-2 풀이> (10점)

노동력을 1명 투입하는 경우와 유사한 방법으로 이 경우 역시 총이윤을 최대로 하기 위한 설탕의 투입량을 결정할 수 있다. 노동력을 $\displaystyle k$명 투입하면 총이윤 함수에서 $\displaystyle k$을 대입하여 다음의 총이윤 함수를 얻게 된다

$\displaystyle S(x)=-x^2+4kx-5k^2+\frac{21}{2}k$

이 경우 총이윤을 최대로 만들기 위해서는 위 함수가 최댓값을 갖도록 설탕의 투입량 즉 $\displaystyle x$의 값을 결정해야 한다. 이를 위해 위 식을 다음과 같이 변형 한다

$\displaystyle S(x)=-(x-2k)^2-k^2+\frac{21}{2}k$

제곱수는 항상 양수이므로 $\displaystyle -(x-2k) ^{2}$이 0인 경우 위 함수는 최댓값을 갖게 된다. 따라서 노동력을 $\displaystyle k$명 투입하는 경우 철수가 설탕을 $\displaystyle 2k$톤 투입할 때 총이윤은 최대가 된다.Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: 이 문제의 $\displaystyle (x-2k)^2$는 $\displaystyle x=2k$에서 $\displaystyle 0$이므로, ‘제곱수는 항상 양수’는 ‘제곱수는 항상 0 이상’으로 읽어야 한다. 이어지는 계산에서는 $\displaystyle x=2k$인 경우를 바르게 다루고 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<문제 1-3 풀이> (15점)

위 [문제 1-2]의 결론으로 부터 노동력의 투입량이 $\displaystyle k$로 결정 되어 있을 때 설탕의 $\displaystyle 2k$g 투입한 경우 최대의 이윤을 얻을 수 있다는 것을 알고 있다. 따라서 최대의 수익을 위한 생산 요소의 투입량을 결정하기 위해서 노동력을 $\displaystyle k$명, 설탕을 $\displaystyle 2k$g 투입하는 경우만을 고려하는 것으로 충분하다. 그러므로 자연수 $\displaystyle k$에 대한 다음 함수의 최댓값을 구하는 문제로 귀결되게 된다Correction. 풀이의 투입량 단위 $\displaystyle \mathrm{g}$, $\displaystyle \mathrm{kg}$는 문제에서 정한 단위인 ‘톤’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle S(k)=-k^2+\frac{21}{2}k$

제곱식을 이용한 1), 2)에서의 논리를 적용하기 위해 식을 다음과 같이 변형 한다

$\displaystyle S(k)=-\left(k-\frac{21}{4}\right)^2+\left(\frac{21}{4}\right)^2$

위의 논리를 반복하면 $\displaystyle \left(k-\frac{21}{4}\right)^2$이 최소가 되는 $\displaystyle k$값을 결정하여야만 한다. 숫자 $\displaystyle k$는 자연수이므로 $\displaystyle \frac{21}{4}$에 가장 가까운 자연수인 5에서 위 식은 최댓값을 갖게 된다. 따라서 노동력은 5명, 설탕은 10g 투입할 때 총이윤은 최대가 되므로 최대 총이윤은 $\displaystyle \frac{440\times10^6}{16}=27500000$ 원이 된다.