이학계열 3번

가입자수는 2007년부터 1.1배식 일정하게 증가한다.(등비수열). 사고건수는 가입자수에 영향을 받지만 표에 나와있는 기록으로는 매년 10건이 일정하게 증가한다. (등차수열) 그러므로 2012년에 가입자수는 1464(=1331*1.1=1464.1)건으로 예측되고 사고건수는 400(=390+10) 로 예측된다.

가입자수는 같은 비율로 증가하므로 비선형의 지수함수 모형으로 나타나고 사고건수는 일정한 선형함수의 모형으로 나타난다. 비율은 점차적으로 작아지는 모형을 하고 있으며 선형은 아니다.

2012년에 예측된 사고건수는 400건.보상금 수준은 평균 400만원, 표준편차가 100인 정규분포를 따른다.$\displaystyle (N(m,\sigma^2)\rightarrow N(400,100^2))$

따라서 500만 원 이상이 되는 사고건수의 수는 전체 사고 건수 중에 500만원이 넘는 확률을 곱하여 구할 수 있다.표준정규분포표를 이용하여 풀기 위해 표준화 하면$\displaystyle \begin{aligned}P(X\geq x)&=P\left(\frac{X-m}{\sigma}\geq\frac{x-m}{\sigma}\right)\\&=P\left(Z\geq\frac{500-400}{100}\right)\\&=P(Z\geq1)\\&=0.5-P(0\leq Z\leq1)\\&=0.5-0.3413\\&=0.1587\end{aligned}$ --------(1)

그러므로 500만원이 넘는 사고건수는 $\displaystyle 400\times0.1587=63.48\fallingdotseq64$

사고건수당 구급차 출동 확률이 $\displaystyle \frac1{10}$이므로 구급차 출동이 발생한 사고수를 $\displaystyle X$라 할 때 $\displaystyle X$는 시행횟수가 $\displaystyle n=400$ , 발생 확률 $\displaystyle p=0.1$, 그리고 발생하지 않을 확률이 $\displaystyle 1-p=q=0.9$인 이항분포를 따른다고 할 수 있다.( $\displaystyle B(n,p)=B(400,0.1)$) 이때 평균과 분산은 다음과 같다.

$\displaystyle E(X)=400\times0.1=40,\quad V(X)=400\times0.1\times0.9=6^2$그리고 시행횟수 $\displaystyle n=400$이 충분히 큰 수라고 생각하면 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N(np,npq)=N(40,6^2)$을 따른다.

예산으로 준비한 5억 2천만원을 초과하려면 구급차 출동 사고건수가 52건이 넘어야 하는데 표준정규분포표를 이용하기 위해 표준화 할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}P(X>x)&=P\left(\frac{X-m}{\sigma}>\frac{x-m}{\sigma}\right)\\&=P\left(Z>\frac{52-40}{6}\right)\\&=P(Z>2)\\&=0.5-P(0\leq Z\leq2)\\&=0.5-0.4772\\&=0.0228\end{aligned}$

그러므로 확률은 0.0228