한국항공대 2016학년도 수시 공학계열 3번 해설

【문제 3】 (30점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

아래의 제시문에서 $\displaystyle \rho$ 는 유체의 밀도, $\displaystyle A$ 는 유체가 흐르는 파이프의 단면적, $\displaystyle v$ 는 그 단면에 수직한 유체의 속도, $\displaystyle p$ 는 압력, $\displaystyle h$ 는 높이, $\displaystyle g$ 는 중력가속도, $\displaystyle t$ 는 시간, $\displaystyle x$ 는 이동거리를 의미한다. 아래첨자 1, 2는 각각 유동의 입구와 출구를 의미한다.

가) 유체역학에서 연속방정식이란 주어진 공간 내에서의 질량보존법칙을 의미한다. 즉, 주어진 공간 내의 질량이 시간에 따라 일정하다면, 주어진 시간 동안( $\displaystyle \Delta t$ )에 이 공간 내로 유입된 질량과 유출된 질량은 같아야 한다.

$\displaystyle \Delta t$ 동안 입구로 유입된 유체의 질량은 밀도와 유입된 부피의 곱으로 표현된다. 즉,

$\displaystyle \Delta t$ 동안 유입된 질량 $\displaystyle =\rho_1A_1\Delta x_1$ (식3-1)

$\displaystyle \Delta t$ 가 0에 가까운 순간을 고려하면, $\displaystyle v_1=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x_1}{\Delta t}$ 이므로 주어진 짧은 시간 동안에 유입된 질량은 $\displaystyle \rho_1A_1v_1\Delta t$ 로 표현된다. 같은 방법으로 출구에서 유출된 질량은 $\displaystyle \rho_2A_2v_2\Delta t$ 로 표현된다.

[그림 3-1]에서 점선으로 표시된 영역의 유체의 질량이 시간에 따라 변하지 않는다면, 주어진 시간 동안 유입된 질량은 유출된 질량과 같아야 한다. 따라서, 다음의 식이 성립한다.

$\displaystyle \rho_1A_1v_1\Delta t=\rho_2A_2v_2\Delta t$ (식3-2)

만약 밀도가 일정하다면, 연속방정식은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle v_1A_1=v_2A_2$ (식3-3)

나) 실제 유동을 여러 가정을 통해 단순화하면 유체의 압력, 속도, 높이의 관계는 베르누이 방정식으로 나타낼 수 있다. 이 경우, [그림 3-2]와 같은 유동에서 다음의 베르누이 방정식이 성립한다.

$\displaystyle p_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac12\rho v_2^2+\rho gh_2=\text{일정}$ (식3-4)

다) 베르누이 방정식을 이용하면 [그림 3-3]에서 배출구를 통한 물의 배출 속력을 구할 수 있다.

물통 상부의 물 표면 (1)과 배출구의 끝부분 (2) 사이에 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle p_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac12\rho v_2^2+\rho gh_2$ (식3-5)

대기 중에 노출된 물통 상부의 물 표면과 배출구의 끝부분의 압력은 대기압으로 동일하다. 즉, $\displaystyle p_1=p_2=$ 대기압이다.

물통의 물이 줄어드는 속력 $\displaystyle v_1$ 과 배출구의 끝부분에서의 물의 속력 $\displaystyle v_2$ 의 관계는 연속방정식을 사용하면 구할 수 있다. 즉, $\displaystyle \rho_1A_1v_1=\rho_2A_2v_2$ 이다. 밀도는 일정하므로,

$\displaystyle v_1=\frac{A_2}{A_1}v_2$ (식3-6)

(식3-6)을 (식3-5)의 베르누이 방정식에 대입한 후, $\displaystyle v_2$ 에 대해 정리하면,

$\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{2g(h_1-h_2)}{1-(A_2/A_1)^2}}=\sqrt{\frac{2gH}{1-(A_2/A_1)^2}}$ (식3-7)

만약 물통의 지름이 배출구의 지름에 비해 매우 크다면 $\displaystyle (A_2/A_1)^2$ 은 매우 작은 값을 가지므로 무시할 수 있다. 즉, $\displaystyle (A_2/A_1)^2$ 은 0으로 가정할 수 있다. 따라서 배출구의 끝부분에서 물의 속력은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle v_2=\sqrt{2gH}$ (식3-8)

즉, 배출구에서의 물의 속력은 물통의 형상에 상관없이 물의 높이만의 함수로 표현된다.

※ 아래 문제에서는 제시문의 연속방정식과 베르누이 방정식을 적용할 수 있다고 가정한다.

[문제 3-1] 그림과 같이 물이 채워진 주사기의 피스톤이 속력 $\displaystyle v_1$ 으로 이동할 때, 주사기 바늘을 통해 빠져 나오는 물의 속력 $\displaystyle v_2$ 를 $\displaystyle v_1$ 의 식으로 나타내시오. 단, 주사기의 반지름( $\displaystyle r_1$ )은 바늘의 반지름( $\displaystyle r_2$ )의 10배이고, 물의 밀도는 일정하다.

[문제 3-2] 그림과 같이 물의 수위 $\displaystyle h$ 가 감소하는 속력이 $\displaystyle k$ 로 일정한 물통을 만들고자 한다. 이 때, 물통의 반지름 $\displaystyle r$ 을 물의 높이 $\displaystyle h$ 의 함수로 표현하시오. 단, 원형 배출구의 반지름은 $\displaystyle r_o$ 이고, 중력가속도 $\displaystyle g$ 는 아래 방향으로 작용한다. 또한, $\displaystyle r$ 은 $\displaystyle r_o$ 에 비해 매우 크다고 가정한다.

[문제 3-3] 그림과 같은 원뿔형 물통의 아래 부분에 있는 반지름 $\displaystyle r_o$ 인 원형 배출구를 통해 물이 흘러 나간다. 물의 높이가 $\displaystyle h=h_o$ 에서 $\displaystyle h=\frac14h_o$ 로 줄어드는데 걸리는 시간을 구하시오. 단, 중력가속도 $\displaystyle g$ 는 아래 방향으로 작용하고, $\displaystyle h_o$ 는 $\displaystyle r_o$ 에 비해 매우 크다고 가정한다.

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[문제 3-1]

$\displaystyle \Delta t$ 동안 피스톤에 의해 밀린 질량은 바늘을 통해 빠져나간 질량과 동일하다. 즉,

$\displaystyle \rho A_1v_1\Delta t=\rho A_2v_2\Delta t$

$\displaystyle v_2$ 에 대해 정리하면,

$\displaystyle v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1=\frac{r_1^2}{r_2^2}v_2=100v_1$

[문제 3-2]

$\displaystyle \Delta t$ 동안 물이 줄어든 질량은 배출구를 통해 빠져나간 질량과 같다. $\displaystyle \Delta t$ 동안 질량 변화를 계산하면,

$\displaystyle \pi\rho r^2v_1\Delta t=\pi\rho r_0^2v_2\Delta t$

또는

$\displaystyle \pi r^2v_1\Delta t=\pi r_0^2v_2\Delta t$

제시문에서 $\displaystyle v_2=\sqrt{2gh}$ 이다.

또한 문제에서 $\displaystyle v_1=k$ 주어져 있다.. 따라서

$\displaystyle \pi r^2(k)\Delta t=\pi r_0^2\sqrt{2gh}\Delta t$

$\displaystyle \therefore r=\left(\frac{r_0^2\sqrt{2gh}}k\right)^{1/2}$

$\displaystyle =r_0\left(\frac{\sqrt{2g}}k\right)^{1/2}h^{1/4}=r_0\frac{(2g)^{1/4}}{\sqrt k}h^{1/4}$

[문제 3-3]

$\displaystyle \Delta t$ 동안 물통에서 줄어든 물의 질량 = $\displaystyle \Delta t$ 동안 배출구를 통해 빠져나간 물의 질량

$\displaystyle \rho\pi r_1^2v_1\Delta t=\rho\pi r_0^2v_2\Delta t$

제시문에서 $\displaystyle v_2=\sqrt{2gh}$ 이고

$\displaystyle v_1=-\frac{dh}{dt}$ 이다.

$\displaystyle r_1=\frac h{\sqrt3}$ 을 대입하여 정리하면,

$\displaystyle \frac{dh}{dt}=-\frac{3r_0^2\sqrt{2gh}}{h^2}$

역함수의 미분성질을 이용하면,

$\displaystyle \frac{dt}{dh}=-\frac{h^2}{3r_0^2\sqrt{2gh}}=-\frac{h^{3/2}}{3r_0^2\sqrt{2g}}$

$\displaystyle t$ 를 적분하여 $\displaystyle h$ 에 대한 함수로 나타내면,

$\displaystyle t=-\frac25\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}h^{5/2}+C$

$\displaystyle h=h_0$ 에서의 시간은,

$\displaystyle t_{h_0}=-\frac25\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}h_0^{5/2}+C$

$\displaystyle h=\frac14h_0$ 일 때의 시간은

$\displaystyle t_{\frac14h_0}=-\frac25\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}\left(\frac14h_0\right)^{5/2}+C$

$\displaystyle =-\frac25\frac1{32}\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}(h_0)^{5/2}+C$

따라서, $\displaystyle h=h_0$ 에서 $\displaystyle h=\frac14h_0$ 까지 걸린 시간은

$\displaystyle t_{\frac14h_0}-t_{h_0}=\left(-\frac25\frac1{32}\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}(h_0)^{5/2}+C\right)$

$\displaystyle -\left(-\frac25\frac1{3r_0^2\sqrt{2g}}(h_0)^{5/2}+C\right)$

$\displaystyle \therefore t=\frac{31}{240}\frac{h^{5/2}}{\sqrt{2g}r_0^2}$ Correction. 예시답안 [3-1]의 $\displaystyle \frac{r_1^2}{r_2^2}v_2$ 에서 $\displaystyle v_2$ 는 $\displaystyle v_1$ 의 오기이며, [3-3]의 마지막 식에서 $\displaystyle h^{5/2}$ 는 $\displaystyle h_0^{5/2}$ 의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

[문제 3-1] 부호 틀리면 2점 감점, 계산 과정 중 실수는 3점 감점.

[문제 3-2] 부호 틀리면 2점 감점, 계산 과정 중 실수는 3점 감점.

[문제 3-3] 부호 틀리면 2점 감점, 계산 과정 중 실수는 3점 감점.

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