공학계열 2번

문제에서 주어진 정규분포 곡선으로부터 평균운동속력을 구한다. 즉, 고도 30km 지점의 온도는 200K이고 그 때의 평균운동속력은 400m/s이다. 고도 50km지점의 온도는 250K이고 그 때의 평균운동속력은 550m/s이다.

운동에너지 $\displaystyle KE=\frac12mv^2$으로 정의되며, 오존분자 1몰의 질량은 분자량인 48g/mol 이므로, 서로 다른 두 지점에서 평균속력을 갖는 오존 분자들의 평균운동에너지 차이는,$\displaystyle KE_{50\mathrm{km}}-KE_{30\mathrm{km}}=\frac12(48\mathrm{g})(v_{50\mathrm{km}}^2-v_{30\mathrm{km}}^2)$$\displaystyle =\frac12\times(0.048\mathrm{kg})\times(550^2-400^2)\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2$$\displaystyle =0.024\times(302500-160000)$$\displaystyle =3420\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2=3420\mathrm{J}$이다.

유효 충돌을 통해 성공적으로 분해반응을 일으키기 위해서는 오존분자들은 활성화 에너지 (8640 J/mol) 이상의 운동에너지를 가져야 하며, 이만큼의 운동에너지를 갖기 위한 분자의 운동속력은 다음의 과정을 통해 구할 수 있다.$\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\times KE}{m}}=\sqrt{\frac{2\times8640}{48\times10^{-3}}}$$\displaystyle =\sqrt{360000}=600\mathrm{m}/\mathrm{s}$즉, 600m/s 이상의 운동속력을 갖는 분자는 유효충돌하여 반응에 성공한다.

분자의 운동속력의 확률변수 X 에 대해, 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}$는 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따른다.$\displaystyle P(X\geq600)=P\left(Z\geq\frac{600-550}{175}\right)=P(Z\geq0.29)$$\displaystyle =0.5-P(0\leq Z\leq0.29)$제시문 라)의 표준정규분포표에서$\displaystyle P(0\leq Z\leq0.29)=0.1141$이므로$\displaystyle P(X\geq600)=0.5-0.1141=0.3859$즉, 분해반응을 일으키는 오준 분자의 비율은 38.59% 이다.

촉매가 없는 환경에서 반응에 필요한 오존 분자의 최소 운동속력은 [문제 2-2]에서 보인 바와 같이 600m/s 이다.이에 대해$\displaystyle P(X\geq600)=P\left(Z\geq\frac{600-400}{120}\right)=P(Z\geq1.67)$$\displaystyle =0.5-P(0\leq Z\leq1.67)$제시문 라)의 표준정규분포표에서$\displaystyle P(0\leq Z\leq1.67)=0.4525$이므로$\displaystyle P(X\geq600)=0.5-0.4525=0.0475$즉, 촉매가 없는 환경에서 분해반응을 일으키는 오준 분자의 비율은 4.75% 이다.

프레온가스에서 분해된 염소가 촉매로 작용하여 분해반응속도가 6배로 증가했다면, 유효충돌하는 오존분자의 비율은 $\displaystyle 4.75\%\times6=28.5\%$가 된다.

새로 설정된 활성화 에너지에 해당하는 분자운동속력을 $\displaystyle V\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$라 하면 다음의 식이 성립된다.$\displaystyle P\left(Z\geq\frac{V-400}{120}\right)$$\displaystyle =0.5-P\left(0\leq Z\leq\frac{V-400}{120}\right)=0.2850$$\displaystyle P\left(0\leq Z\leq\frac{V-400}{120}\right)=0.2150$제시문 라)의 표준정규분포표에 의하면$\displaystyle \frac{V-400}{120}=0.57$$\displaystyle V=(0.57\times120)+400=468.4$즉, 오존분자가 가져야 할 최소 운동속력은 468.4 m/s 이다.