공학계열 2번

한국항공대 2016학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2016su/gonghak_2

【문제 2】 (40점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

가) 오존( $\displaystyle \mathrm{O}_3$ , 분자량 = $\displaystyle 48\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )은 산소 원자 3개로 이루어져 있으며, 상온 대기압에서 푸른색을 띤 기체이다. 일반적으로 오존은 성층권의 상부에 위치한 오존층에 밀집되어 있으며, 태양에서 오는 해로운 자외선을 흡수하기 때문에 지구의 생명체에게 유익하다. 오존 분자가 태양빛의 자외선을 흡수하면 오존은 산소 분자( $\displaystyle \mathrm{O}_2$ , 분자량 = $\displaystyle 32\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )와 산소 원자로 쪼개진다. 단원자 상태의 산소 원자는 매우 불안정하므로 또 다른 오존 분자와 빠르게 반응하여 두 개의 산소 분자를 생성한다. 자외선의 흡수는 오존을 파괴하므로 성층권의 오존 농도가 일정하게 유지되기 위해서 오존은 화학반응에 의해 끊임없이 생성되어야 한다. 태양 복사에너지는 산소 분자를 두 개의 산소 원자로 쪼갤 수 있으며, 각 산소 원자는 또 다른 산소 분자와 반응하여 오존 분자를 생성한다. 오존층 내에서 오존의 분해와 생성은 반복적으로 일어나기 때문에 오존과 산소의 상대적인 양은 일정하게 유지된다.

오존분해 $\displaystyle \begin{cases}\mathrm{O}_3\xrightarrow{\text{자외선}}\mathrm{O}_2+\mathrm{O}\\\mathrm{O}+\mathrm{O}_3\longrightarrow2\mathrm{O}_2\end{cases}$

오존생성 $\displaystyle \begin{cases}\mathrm{O}_2\xrightarrow{\text{자외선}}2\mathrm{O}\\\mathrm{O}_2+\mathrm{O}\longrightarrow\mathrm{O}_3\end{cases}$

냉장고, 에어컨 등의 냉각장치에서 냉매로 사용되는 프레온가스( $\displaystyle \mathrm{CCl}_2\mathrm{F}_2$ )는 오존과 산소 간의 양적 균형을 해치는 오염물질로 보고되고 있다. 프레온가스에서 분리된 염소 원자( $\displaystyle \mathrm{Cl}$ )는 아래 반응식과 같은 연쇄 반응에 의해 오존이 산소로 분해되는 과정에서 촉매의 역할을 하여 오존 분자의 분해를 가속시킨다.

오존분해 $\displaystyle \begin{cases}\mathrm{Cl}+\mathrm{O}_3\longrightarrow\mathrm{ClO}+\mathrm{O}_2\\\mathrm{ClO}+\mathrm{O}_3\longrightarrow2\mathrm{O}_2+\mathrm{Cl}\end{cases}$

나) 기체분자운동론은 기체 분자를 질량을 가진 탄성 입자로 보고 이러한 입자들의 평균적 운동 양상으로 기체의 성질을 설명하는 이론이다. 기체분자운동론에서 기체는 그 입자(분자)들이 서로 멀리 떨어져 있기 때문에 독립적으로 직선운동하며, 기체 분자들 간의 탄성충돌을 통해 에너지를 서로 전달한다고 본다. 한편, 기체의 거시적 성질은 기체 분자 개개의 역학적 운동보다는 계에 존재하는 분자 전체의 평균 운동 상태에 의해 결정되므로 독립된 분자들의 운동을 통계적으로 취급하여 결정된다. 동일한 질량의 분자로 이루어진 기체라 하더라도 그 분자들의 운동속력은 상당히 큰 범위에 걸쳐 분포되어 있다. 간혹 매우 빠르게 움직이는 분자가 나타나기도 하며 이것이 얼마 후에는 움직임이 아주 느려지기도 한다. 이는 끊임없이 분자들이 탄성 충돌을 통해 서로 에너지를 주고받기 때문이다. 온도가 일정하다면 분자들의 운동속력 분포는 시간이 지나도 그 형태가 변함이 없다. 다만, 온도가 상승하면 전체적으로 운동속력이 증가한다. 분자들의 운동속력 분포와 온도에 대한 상관관계가 맥스웰에 의해 정리되었고, 이러한 확률밀도함수 형태의 분포함수를 맥스웰-볼츠만 분포함수라 한다.

다) 반응속도는 주어진 조건에서 반응이 얼마나 빨리 일어나는지에 대한 척도이며, 생성물의 생성속도로 산출된다. 반응속도에 영향을 주는 조건들은 온도, 반응물 농도, 표면적, 촉매의 존재여부 등을 포함한다. 일반적으로 더 높은 온도에서 반응은 더 빠르게 진행된다. 반응속도와 온도의 상관관계는 충돌이론에서 효과적으로 설명하고 있다. 충돌이론에 의하면 반응이 일어나기 위해 반응물 분자들은 충분한 운동에너지를 가지고 충돌해야 한다. 이런 경우를 유효충돌이라 하며, 여러 건의 충돌 중에서 유효충돌하는 경우에만 반응을 통해 생성물을 만들 수 있다. 반응물 분자가 반응에 성공하기 위해 충돌 시 가져야 할 최소한의 에너지를 활성화 에너지라 한다. 계의 온도가 올라가면 반응물 분자들의 평균 운동에너지는 증가하고, 이를 통해 전체 충돌 중 유효충돌의 비율이 증가하며, 이에 비례하여 반응속도도 증가하게 된다. 촉매의 존재 역시 반응속도에 직접적인 영향을 미친다. 촉매는 반응에서 자신은 소모되지 않고 반응이 일어나는 경로를 변화시킨다. 새로운 반응 경로는 더 낮은 활성화 에너지를 가진 경로이다. 활성화 에너지가 더 낮아지면 반응물 분자 중 새로 설정된 최소한의 에너지 요구를 충족할 수 있는 분자들의 비율이 많아지고, 이는 곧 반응속도의 증가로 이어진다.

라) [표 2-1] 표준정규분포표

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	.0000	.0040	.0080	.0120	.0160	.0199	.0239	.0279	.0319	.0359
0.1	.0398	.0438	.0478	.0517	.0557	.0596	.0636	.0675	.0714	.0753
0.2	.0793	.0832	.0871	.0910	.0948	.0987	.1026	.1064	.1103	.1141
0.3	.1179	.1217	.1255	.1293	.1331	.1368	.1406	.1443	.1480	.1517
0.4	.1554	.1591	.1628	.1664	.1700	.1736	.1772	.1808	.1844	.1879
0.5	.1915	.1950	.1985	.2019	.2054	.2088	.2123	.2150	.2190	.2224
0.6	.2257	.2291	.2324	.2357	.2389	.2422	.2454	.2486	.2518	.2549
0.7	.2580	.2611	.2642	.2673	.2704	.2734	.2764	.2794	.2823	.2852
0.8	.2881	.2910	.2939	.2967	.2995	.3023	.3051	.3078	.3106	.3133
0.9	.3159	.3186	.3212	.3238	.3264	.3289	.3315	.3340	.3365	.3389
1.0	.3413	.3438	.3461	.3485	.3508	.3531	.3554	.3577	.3599	.3621
1.1	.3643	.3665	.3686	.3708	.3729	.3749	.3770	.3790	.3810	.3830
1.2	.3849	.3869	.3888	.3907	.3925	.3944	.3962	.3980	.3997	.4015
1.3	.4032	.4049	.4066	.4082	.4099	.4115	.4131	.4147	.4162	.4177
1.4	.4192	.4207	.4222	.4236	.4251	.4265	.4279	.4292	.4306	.4319
1.5	.4332	.4345	.4357	.4370	.4382	.4394	.4406	.4418	.4429	.4441
1.6	.4452	.4463	.4474	.4484	.4495	.4505	.4515	.4525	.4535	.4545
1.7	.4554	.4564	.4573	.4582	.4591	.4599	.4608	.4616	.4625	.4633
1.8	.4641	.4649	.4656	.4664	.4671	.4678	.4686	.4693	.4699	.4706
1.9	.4713	.4719	.4726	.4732	.4738	.4744	.4750	.4756	.4761	.4767

※ 오존 분자( $\displaystyle \mathrm{O}_3$ )의 분해반응을 기체분자운동론의 관점에서 설명하고자 한다. 촉매가 없는 반응에서 오존 분자 $\displaystyle 1\,\mathrm{mol}$ 의 분해반응에 대한 활성화 에너지는 $\displaystyle 8640\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}$ 이다. 성층권 내 고도 $\displaystyle 30\,\mathrm{km}$ 와 $\displaystyle 50\,\mathrm{km}$ 지점의 온도가 각각 $\displaystyle 200\mathrm{K}$ , $\displaystyle 250\mathrm{K}$ 이라고 할 때, 각 고도에서 오존 분자의 운동속력( $\displaystyle v$ )은 아래 그림과 같은 분포를 갖는다. 오존 분자의 운동속력 분포가 정규분포를 따른다고 가정하고, 이 때 표준편차는 $\displaystyle 200\mathrm{K}$ 온도에서 $\displaystyle 120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\displaystyle 250\mathrm{K}$ 온도에서는 $\displaystyle 175\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 이다. 다음 물음에 답하시오.

[문제 2-1] 고도 $\displaystyle 30\,\mathrm{km}$ 지점과 $\displaystyle 50\,\mathrm{km}$ 지점에서 각각 평균운동속력을 갖는 오존 분자 $\displaystyle 1\,\mathrm{mol}$ 의 운동에너지의 차이를 $\displaystyle \mathrm{J}$ (Joule) 단위로 구하시오.

[문제 2-2] 고도 $\displaystyle 50\,\mathrm{km}$ 지점에서 유효충돌을 통해 성공적으로 분해반응을 일으키는 오존 분자의 비율이 몇 %인지 구하시오.

[문제 2-3] 제시문 가)와 다)에 기술한 바와 같이 대기로 배출된 프레온가스로부터 분해된 염소가 촉매 작용을 하여 오존 분해 반응속도를 증가시킨다. 고도 $\displaystyle 30\,\mathrm{km}$ 지점에 프레온가스가 유출되어 오존 분해 반응속도가 6배로 증가하였다. 이 때 오존 분해반응에 성공하기 위해 오존 분자가 가져야 할 최소 운동속력을 구하시오.

해설강의 준비중

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[문제 2-1]

+4점 · 평균운동속력

문제에서 주어진 정규분포 곡선으로부터 평균운동속력을 구한다. 즉, 고도 30km 지점의 온도는 200K이고 그 때의 평균운동속력은 400m/s이다. 고도 50km지점의 온도는 250K이고 그 때의 평균운동속력은 550m/s이다.

+6점 · 운동에너지 차이

운동에너지 $\displaystyle KE=\frac12mv^2$ 으로 정의되며, 오존분자 1몰의 질량은 분자량인 48g/mol 이므로, 서로 다른 두 지점에서 평균속력을 갖는 오존 분자들의 평균운동에너지 차이는, $\displaystyle KE_{50\mathrm{km}}-KE_{30\mathrm{km}}=\frac12(48\mathrm{g})(v_{50\mathrm{km}}^2-v_{30\mathrm{km}}^2)$ $\displaystyle =\frac12\times(0.048\mathrm{kg})\times(550^2-400^2)\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2$ $\displaystyle =0.024\times(302500-160000)$ $\displaystyle =3420\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2=3420\mathrm{J}$ 이다.

[문제 2-2]

문제에 주어진 대로 고도 50km 지점에서의 오존분자 운동속력분포는 평균(m) 550 m/s, 표준편차( $\displaystyle \sigma$ ) 175 m/s 의 정규분포 $\displaystyle N(550,175^2)$ 을 따른다.

+4점 · 운동속력

유효 충돌을 통해 성공적으로 분해반응을 일으키기 위해서는 오존분자들은 활성화 에너지 (8640 J/mol) 이상의 운동에너지를 가져야 하며, 이만큼의 운동에너지를 갖기 위한 분자의 운동속력은 다음의 과정을 통해 구할 수 있다. $\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\times KE}{m}}=\sqrt{\frac{2\times8640}{48\times10^{-3}}}$ $\displaystyle =\sqrt{360000}=600\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 즉, 600m/s 이상의 운동속력을 갖는 분자는 유효충돌하여 반응에 성공한다.

+6점 · 분자의 비율

분자의 운동속력의 확률변수 X 에 대해, 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}$ 는 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$ 을 따른다. $\displaystyle P(X\geq600)=P\left(Z\geq\frac{600-550}{175}\right)=P(Z\geq0.29)$ $\displaystyle =0.5-P(0\leq Z\leq0.29)$ 제시문 라)의 표준정규분포표에서 $\displaystyle P(0\leq Z\leq0.29)=0.1141$ 이므로 $\displaystyle P(X\geq600)=0.5-0.1141=0.3859$ 즉, 분해반응을 일으키는 오준 분자의 비율은 38.59% 이다.

[문제 2-3]

문제에 주어진 대로 고도 30km 지점에서의 오존분자 운동속력분포는 평균(m) 400 m/s, 표준편차( $\displaystyle \sigma$ ) 120 m/s 의 정규분포 $\displaystyle N(400,120^2)$ 을 따른다.

+3점 · 촉매 없는 환경

촉매가 없는 환경에서 반응에 필요한 오존 분자의 최소 운동속력은 [문제 2-2]에서 보인 바와 같이 600m/s 이다.이에 대해 $\displaystyle P(X\geq600)=P\left(Z\geq\frac{600-400}{120}\right)=P(Z\geq1.67)$ $\displaystyle =0.5-P(0\leq Z\leq1.67)$ 제시문 라)의 표준정규분포표에서 $\displaystyle P(0\leq Z\leq1.67)=0.4525$ 이므로 $\displaystyle P(X\geq600)=0.5-0.4525=0.0475$ 즉, 촉매가 없는 환경에서 분해반응을 일으키는 오준 분자의 비율은 4.75% 이다.

+2점 · 비율 증가

프레온가스에서 분해된 염소가 촉매로 작용하여 분해반응속도가 6배로 증가했다면, 유효충돌하는 오존분자의 비율은 $\displaystyle 4.75\%\times6=28.5\%$ 가 된다.

+5점 · 최소 운동속력

Correction. 문제 2의 배점은 문제지와 모범답안 제목에서 모두 40점이나 세 소문항의 채점기준은 각각 10점으로 제시되어 합계가 30점이다. 따라서 세부 배점에 오기가 있다. 어느 소문항의 배점을 몇 점으로 고쳐야 하는지는 제시된 자료만으로 확정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

새로 설정된 활성화 에너지에 해당하는 분자운동속력을 $\displaystyle V\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 라 하면 다음의 식이 성립된다. $\displaystyle P\left(Z\geq\frac{V-400}{120}\right)$ $\displaystyle =0.5-P\left(0\leq Z\leq\frac{V-400}{120}\right)=0.2850$ $\displaystyle P\left(0\leq Z\leq\frac{V-400}{120}\right)=0.2150$ 제시문 라)의 표준정규분포표에 의하면 $\displaystyle \frac{V-400}{120}=0.57$ $\displaystyle V=(0.57\times120)+400=468.4$ 즉, 오존분자가 가져야 할 최소 운동속력은 468.4 m/s 이다.

[문제 2-1], [문제 2-2], [문제 2-3] 모범답안에 표시된 단계별 부분점수들을 모두 합하면 각각 총 10점이 되도록 한다.

[문제 2-1] $\displaystyle 1\mathrm{J}=1\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2$ 의 단위 환산이 잘못된 경우 3점 감점. 질량을 kg 단위가 아닌 g 단위를 그대로 사용하여 3420000 J로 답한 경우 3점 감점.

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