공학계열 1번

I) 주어진 변수들을 활용하여 방정식을 유도할 수 있는가? (부분점수 2점)

타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이라고 할 때 주어진 문제로부터 $\displaystyle 2a=4\sqrt2$이므로 $\displaystyle a=2\sqrt2$이다. 초점이 (2,0)에 있으므로 $\displaystyle b^2=a^2-2^2$으로부터 $\displaystyle b=2$를 얻을 수 있다.

따라서 만족하는 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{(2\sqrt2)^2}+\frac{y^2}{(2)^2}=1$으로 쓸 수 있다.

매개변수를 활용하여 타원방정식을 구하여도 상관없음.

II) 매개변수 방정식으로 표현할 수 있는가? (부분점수 2점)

매개변수 방정식을 활용하면 $\displaystyle x=2\sqrt2\cos t$, $\displaystyle y=2\sin t$으로 놓을 수 있다. 이때 접점에서의 기울기인 $\displaystyle dy/dx$를 구하기 위해서는 $\displaystyle dx/dt$와 $\displaystyle dy/dt$를 구해야 하며 이는 다음과 같이 구해진다.

$\displaystyle dx/dt=-2\sqrt2\sin t,\quad dy/dt=2\cos t$$\displaystyle (0\leq t\leq2\pi)$

매개변수를 결정하는 각도의 크기를 구할 수 있는가? (부분점수 2점)

$\displaystyle \therefore\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos t}{-2\sqrt2\sin t}=-\frac1{\sqrt2}\cot t$, (단, $\displaystyle \sin t\neq0$)

점 $\displaystyle (-2,\sqrt2)$에서 $\displaystyle \cos t=-\frac1{\sqrt2}$, $\displaystyle \sin t=\frac1{\sqrt2}$이므로 $\displaystyle t=135^\circ=\frac{3\pi}4$이다. 따라서

최종 기울기를 구할 수 있는가? (부분점수 1점)

점 $\displaystyle (-2,\sqrt2)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}\frac{\cos\frac{3\pi}4}{\sin\frac{3\pi}4}=\frac1{\sqrt2}$이다.

최종 접선의 방정식을 구하였는가? (부분점수 2점)

최종적으로 구하고자 하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\sqrt2=\frac1{\sqrt2}(x+2)$이며

$\displaystyle y=f(x)=\frac1{\sqrt2}(x+2)+\sqrt2=\frac1{\sqrt2}x+2\sqrt2$로 표현할 수 있다.

I) 접선에 수직인 직선의 기울기를 구하였는가? (부분점수 3점)

접선의 기울기를 $\displaystyle m$이라고 할 때 $\displaystyle m=1/\sqrt2$이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle m^{\prime}=-\sqrt2$가 된다. 따라서 만족하는 직선은 $\displaystyle y=-\sqrt2x+k$로 쓸 수 있다.

II) 접선에 수직인 직선의 방정식을 구하였는가? (부분점수 3점)

이 직선은 (2,0)인 태양을 지나고 있으므로 대입하여 만족하여야 한다. 따라서 $\displaystyle k=2\sqrt2$가 되며 구하고자 하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=g(x)=-\sqrt2x+2\sqrt2$가 된다.

I) 벡터 $\displaystyle \vec a$와 벡터 $\displaystyle \vec b$를 구하였는가? (부분점수 2점)

두 직선의 교점 M의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$라고 하고 각각의 직선과 평행한 벡터를 $\displaystyle \vec a$, $\displaystyle \vec b$라고 하자. 이때 벡터 $\displaystyle \vec a$는 점 $\displaystyle (-2,\sqrt2)$와 점 $\displaystyle \mathrm M(x_1,y_1)$로 구성되어 있으며 그때의 벡터 표현식은 $\displaystyle \vec a=(x_1+2,y_1-\sqrt2)$로 나타낼 수 있다. 같은 방법으로 $\displaystyle \vec b$는 점 $\displaystyle \mathrm M(x_1,y_1)$과 $\displaystyle (2,0)$으로 구성되어 있으므로 벡터 표현식은 $\displaystyle \vec b=(2-x_1,-y_1)$으로 표현할 수 있다.

II) 두 벡터를 이용하여 내적이 영(zero)인 수식을 구하였는가? (부분점수 2점)

두 벡터가 수직이어야 하므로

$\displaystyle \begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&=-(x_1+2)(x_1-2)-y_1(y_1-\sqrt2)\\&=-(x_1^2-4)-y_1^2+\sqrt2y_1=0\end{aligned}$ ----- ⓵

을 만족해야 하며 또한 교점 $\displaystyle \mathrm M(x_1,y_1)$은 직선 위의 한 점이므로 두 직선 중 어느 직선의 방정식이라도 만족하여야 한다. 여기서는

즉, $\displaystyle y_1=f(x_1)=\frac1{\sqrt2}x_1+2\sqrt2$를 이용하고자 한다. ----- ⓶

III) 두 방정식을 연립하여 교점을 구하였는가? (부분점수 3점)

위의 두 방정식 ⓵과 ⓶를 연립하여 계산하면

$\displaystyle x_1^2+y_1^2=\sqrt2y_1+4$

$\displaystyle \longleftarrow y_1=\frac1{\sqrt2}x_1+2\sqrt2$을 대입

$\displaystyle \rightarrow(\sqrt2y_1-4)^2+y_1^2=\sqrt2y_1+4$

$\displaystyle \rightarrow y_1^2-3\sqrt2y_1+4=0$

근의 공식을 활용하면 $\displaystyle y_1=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{2}$가 되어 가능한 해로 $\displaystyle y_1=\frac{4\sqrt2}{2}$가 된다.

따라서 최종적인 교점의 좌표는 $\displaystyle (0,2\sqrt2)$이다.

I) 주어진 두 직선의 방향벡터를 구할 수 있는가? (부분점수 2점)

두 직선의 함수를 다음과 같이 각각 표현할 수 있다.

$\displaystyle y=f(x)=\frac1{\sqrt2}x+\frac4{\sqrt2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{x+4}{\sqrt2}=\frac y1$

$\displaystyle y=h(x)=\sqrt2x+2\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad\frac{x+2}1=\frac y{\sqrt2}$

위를 바탕으로 방향벡터를 구하면 각각의 직선에 대해서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \vec u_1=(\sqrt2,1),\ \vec u_2=(1,\sqrt2)$

II) 최종 $\displaystyle \cos\theta$의 값을 구할 수 있는가? (부분점수 3점)

두 벡터의 정사영의 원리를 사용하여

따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{|l_1l_2+m_1m_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2}}=\frac{|\sqrt2+\sqrt2|}{\sqrt3\sqrt3}=\frac{2\sqrt2}3$이다.

I) 부등식의 영역을 표시할 수 있는가? (부분점수 3점)

부등식의 영역을 다음과 같이 표시한다.