공학계열 2번

(1단계) 부분점수 3점

초기 광원의 세기($\displaystyle I_0$)와 $\displaystyle n$개의 층을 통과한 빛의 세기($\displaystyle I_n$)의 관계식을 바르게 유도했으면, 3점을 부여함. 관계식은 틀렸지만 0.977 공비를 적용하여 정리되면 부분점수 1점 인정함.

$\displaystyle I_n=I_0\times(0.977)^n\geq0.5\times I_0$

(2단계) 부분점수 3점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 3점을 부여함. 전개 과정에 실수가 있어도, 그 과정이 논리적으로 유도되면 재량껏 부분점수 인정함. (최소 2점 감점)

$\displaystyle n\log(0.977)\geq\log0.5$

$\displaystyle n\log\left(\frac{9.77}{10}\right)\geq-\log2$

$\displaystyle n(\log9.77-1)\geq-\log2$

$\displaystyle n(0.99-1)\geq-\log2$

$\displaystyle n(-0.01)\geq-0.3$

$\displaystyle n(-0.01)\geq-0.3$

$\displaystyle n\leq30$

$\displaystyle n=30$

(1단계) 부분점수 4점

[그림 2-2]와 같이 자르기를 $\displaystyle n$회 반복할 때, 옆면적의 합이 윗면적의 합보다 크거나 같은 관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(공비를 바르게 유도했으나 관계식이 틀리면 2점만 부여함.)

정사각형 윗면, 한 변의 길이 $\displaystyle x=1000$

옆면적의 증가는, 첫째항 $\displaystyle a_1$, 공비가 $\displaystyle 2^n$인 등비수열 $\displaystyle {a_n}$으로 나타내어진다.

$\displaystyle a_1=\left(x\times\frac12\times0.3\times4^2\right)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times4^3\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times4^n\times4\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times0.3\times2^n\times2^2\right)$

[그림 2-2]와 같이 자르기를 $\displaystyle n$회 반복할 때,

윗면적은 $\displaystyle x^2$으로 일정하다.

따라서 $\displaystyle a_n=(x\times0.3\times2^n\times2^2)\geq x^2$

$\displaystyle x=1000$ 대입하면, $\displaystyle (10^3\times0.3\times2^n\times2^2)\geq10^6$

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

$\displaystyle 2^n\times0.3\times2^2\geq10^3$

$\displaystyle n\log2+\log3-1+2\log2\geq3$

$\displaystyle n\log2\geq4-(\log3+2\log2)$

$\displaystyle 0.3\times n\geq2.9$

$\displaystyle n\geq9.67$

$\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 10$

(1단계) 부분점수 4점

[그림 2-3]와 같이 ‘자르기와 쌓기’를 $\displaystyle n$회 반복할 때, 옆면적의 합이 윗면적의 합보다 더 크기 위한 관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(공비를 바르게 유도했으나 관계식이 틀리면 2점만 부여함.)

정사각형 윗면, 한 변의 길이 $\displaystyle x=1000$

옆면적의 증가는, 첫째항 $\displaystyle a_1$, 공비가 $\displaystyle 2^n$인 등비수열 $\displaystyle {a_n}$으로 나타내어진다.

$\displaystyle a_1=\left(x\times\frac12\times0.3\times4^2\right)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times4^3\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times4^n\times4\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times0.3\times2^n\times2^2\right)$

윗면적의 감소는, 첫째항 $\displaystyle b_1$, 공비가 $\displaystyle \frac14$인 등비수열 $\displaystyle {b_n}$으로 나타내어진다.

$\displaystyle b_n=\left(\frac14\right)^n\times x^2$

옆면적 합이 윗면적 합보다 더 크기 위해서는 $\displaystyle a_n>b_n$

$\displaystyle a_n=\left(x\times(2^{-n})\times0.3\times2^{2n}\times2^2\right)>b_n=\left(\frac14\right)^n\times x^2$

$\displaystyle 10^3\times0.3\times2^n\times2^2>(2^{-2n})\times10^6$

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

$\displaystyle 2^{3n+2}\times0.3>10^3$ 이 식에 log를 취하면,

$\displaystyle (3n+2)\log2+\log3-1>3$

$\displaystyle (3n+2)\times0.3+0.5-1>3$

$\displaystyle 3n\times0.3+0.6>3.5$

$\displaystyle 0.9n>2.9$

$\displaystyle n>3.22$

$\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle 4$

(1단계) 부분점수 4점

관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(관계식은 틀렸지만, 공비를 적용하여 정리되면 부분점수 2점 이하 부여 가능).

초기 옆면적 $\displaystyle a_0=x\times0.3\times4\ (x=1000)$ 나눌 때 새롭게 생성되는 추가 옆면적은 아래와 같다.

$\displaystyle a_1=(x\times0.3\times2)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle a_3=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle b_1=a_2+a_3=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)\times2$

$\displaystyle a_4=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle a_5=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle b_2=a_4+a_3=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)\times2$Comment. 옆면적 수열 $\displaystyle a_n$의 공비는 $\displaystyle 2$이다. $\displaystyle 2^n$은 일반항에 포함되는 거듭제곱이다. [문제 2-4]의 $\displaystyle b_2=a_4+a_3$은 $\displaystyle b_2=a_4+a_5$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle b_n=x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times2\times2$

$\displaystyle (a_2+a_3=b_1),(a_4+a_5=b_2),(a_6+a_7=b_3)\cdots$등비수열로 감소함,

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

첫째항이 $\displaystyle b_1$, 공비가 $\displaystyle \frac12$인 등비수열 $\displaystyle {b_n}$에서 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합을 $\displaystyle S_n$이라 할 때, $\displaystyle S_n=\frac{600\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)}{1-\frac12}=1200\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)$, $\displaystyle a_0=1200$, $\displaystyle a_1=600$

$\displaystyle n$를 한없이 반복할 때,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(S_n+a_0+a_1)=1200+1200+600=3000$

답은 3000