공학계열 2번

한국항공대 2017학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2017su/gonghak_2

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

가) 나노(nano)는 난쟁이라는 뜻의 그리스어 나노스에서 유래한 접두어이다. 나노는 10억분의 1 ( $\displaystyle 10^{-9}$ )을 나타내고, 1 나노미터(nm)는 10억분의 1( $\displaystyle 10^{-9}$ )m 이다. 나노기술은 나노미터 단위에서 물질을 합성, 조립, 제어하며, 그 성질을 이용하는 기술이다. 나노기술을 적용하여 만든 물질을 나노소재라고 한다. 나노소재는 부피에 대한 표면적의 비가 크기 때문에 독특한 성질을 보인다.

나) 나노기술을 적용한 신소재 A는 [그림 2-1(a)]와 같이 두께가 0.3 nm인 얇은 직육면체 형상이다. 이렇게 얇은 소재는, 투명성이 우수하기 때문에 디스플레이 투명전극 소재로 활용하기 위하여 활발히 연구되고 있다. 신소재 A는 기계적, 전기적 특성 향상을 위해서 여러 번 겹쳐 쌓아서 사용하기도 한다. 빛이 신소재 A 한 층을 통과할 때마다 빛의 세기가 2.3%씩 줄어든다.

( $\displaystyle I_0$ 는 윗면으로 들어가는 빛의 세기, $\displaystyle I_1$ 은 한 층을 통과한 빛의 세기, $\displaystyle I_n$ 은 $\displaystyle n$ 개의 층을 통과한 빛의 세기)

다) 신소재 A는 [그림 2-1(a)]와 같이 윗면, 밑면, 그리고 4개의 옆면으로 이루어진다. 4개 옆면의 특성은 서로 같다. 윗면과 밑면의 특성은 서로 같지만 옆면의 특성과는 다르다. 윗면적 대비 옆면적의 비율에 따른 전기적, 광학적, 기계적 특성 변화에 관한 연구가 활발히 진행되고 있다.

※ 다음과 같은 값을 활용할 수 있다. $\displaystyle \log2=0.3,\log3=0.5,\log9.77=0.99$

[문제 2-1] 투명전극의 투명성과 물리적 안정성을 확보하기 위하여 제시문 나)의 [그림 2-1(b)]와 같이 신소재 A를 쌓은 구조로 사용하고자 한다. ‘통과한 빛의 세기( $\displaystyle I_n$ )’를 ‘들어가는 빛의 세기( $\displaystyle I_0$ )’의 $\displaystyle \frac12$ 보다 작지 않게 하기 위한 최대 층수를 구하시오.

[문제 2-2] 신소재 A를 [그림 2-2]와 같은 방법으로 자를 때, 옆면적의 합이 윗면적의 합보다 크거나 같으려면, 최소 몇 회 잘라야 하는지 구하시오.

[문제 2-3] 신소재 A를 [그림 2-3]과 같은 방법으로 자르고, 잘라진 것들을 쌓는다. 그림과 같이 ‘자르기와 쌓기’를 반복할 때, 윗면적은 감소하고 옆면적은 증가하게 된다. 옆면적이 윗면적보다 더 크기 위해서는 ‘자르기와 쌓기’를 최소 몇 회 반복하면 되는지 구하시오.

[문제 2-4] 신소재 A를 [그림 2-4]와 같은 방법으로 자르기를 한없이 반복할 때 옆면적의 총합을 구하시오. (면적의 단위는 $\displaystyle \mathrm{nm^2}$ )

해설강의 준비중

한국항공대 2017학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2017su/gonghak_2

【문제 2】(30점)

[문제 2-1]

[채점기준] 총 6점을 배점하고 단계별 부분점수는 다음과 같다.

+3점 · 관계식

(1단계) 부분점수 3점

초기 광원의 세기( $\displaystyle I_0$ )와 $\displaystyle n$ 개의 층을 통과한 빛의 세기( $\displaystyle I_n$ )의 관계식을 바르게 유도했으면, 3점을 부여함. 관계식은 틀렸지만 0.977 공비를 적용하여 정리되면 부분점수 1점 인정함.

$\displaystyle I_n=I_0\times(0.977)^n\geq0.5\times I_0$

+3점 · 최대 층수

(2단계) 부분점수 3점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 3점을 부여함. 전개 과정에 실수가 있어도, 그 과정이 논리적으로 유도되면 재량껏 부분점수 인정함. (최소 2점 감점)

$\displaystyle n\log(0.977)\geq\log0.5$

$\displaystyle n\log\left(\frac{9.77}{10}\right)\geq-\log2$

$\displaystyle n(\log9.77-1)\geq-\log2$

$\displaystyle n(0.99-1)\geq-\log2$

$\displaystyle n(-0.01)\geq-0.3$

$\displaystyle n\leq30$

$\displaystyle n=30$

[문제 2-2]

[채점기준] 총 8점을 배점하고 단계별 부분점수는 다음과 같다.

(1단계) 부분점수 4점

[그림 2-2]와 같이 자르기를 $\displaystyle n$ 회 반복할 때, 옆면적의 합이 윗면적의 합보다 크거나 같은 관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(공비를 바르게 유도했으나 관계식이 틀리면 2점만 부여함.)

+2점 · 일반항

정사각형 윗면, 한 변의 길이 $\displaystyle x=1000$

옆면적의 증가는, 첫째항 $\displaystyle a_1$ , 공비가 $\displaystyle 2^n$ 인 등비수열 $\displaystyle {a_n}$ 으로 나타내어진다.

$\displaystyle a_1=\left(x\times\frac12\times0.3\times4^2\right)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times4^3\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times4^n\times4\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times0.3\times2^n\times2^2\right)$

+2점 · 관계식

[그림 2-2]와 같이 자르기를 $\displaystyle n$ 회 반복할 때,

윗면적은 $\displaystyle x^2$ 으로 일정하다.

따라서 $\displaystyle a_n=(x\times0.3\times2^n\times2^2)\geq x^2$

$\displaystyle x=1000$ 대입하면, $\displaystyle (10^3\times0.3\times2^n\times2^2)\geq10^6$

+4점 · 최소 횟수

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

$\displaystyle 2^n\times0.3\times2^2\geq10^3$

$\displaystyle n\log2+\log3-1+2\log2\geq3$

$\displaystyle n\log2\geq4-(\log3+2\log2)$

$\displaystyle 0.3\times n\geq2.9$

$\displaystyle n\geq9.67$

$\displaystyle n$ 의 최솟값은 $\displaystyle 10$

[문제 2-3]

[채점기준] 총 8점을 배점하고 단계별 부분점수는 다음과 같다.

(1단계) 부분점수 4점

[그림 2-3]와 같이 ‘자르기와 쌓기’를 $\displaystyle n$ 회 반복할 때, 옆면적의 합이 윗면적의 합보다 더 크기 위한 관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(공비를 바르게 유도했으나 관계식이 틀리면 2점만 부여함.)

+2점 · 일반항

정사각형 윗면, 한 변의 길이 $\displaystyle x=1000$

옆면적의 증가는, 첫째항 $\displaystyle a_1$ , 공비가 $\displaystyle 2^n$ 인 등비수열 $\displaystyle {a_n}$ 으로 나타내어진다.

$\displaystyle a_1=\left(x\times\frac12\times0.3\times4^2\right)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times4^3\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times4^n\times4\right)$

$\displaystyle a_n=\left(x\times0.3\times2^n\times2^2\right)$

윗면적의 감소는, 첫째항 $\displaystyle b_1$ , 공비가 $\displaystyle \frac14$ 인 등비수열 $\displaystyle {b_n}$ 으로 나타내어진다.

$\displaystyle b_n=\left(\frac14\right)^n\times x^2$

+2점 · 관계식

옆면적 합이 윗면적 합보다 더 크기 위해서는 $\displaystyle a_n>b_n$

$\displaystyle a_n=\left(x\times(2^{-n})\times0.3\times2^{2n}\times2^2\right)>b_n=\left(\frac14\right)^n\times x^2$

$\displaystyle 10^3\times0.3\times2^n\times2^2>(2^{-2n})\times10^6$

+4점 · 최소 횟수

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

$\displaystyle 2^{3n+2}\times0.3>10^3$ 이 식에 log를 취하면,

$\displaystyle (3n+2)\log2+\log3-1>3$

$\displaystyle (3n+2)\times0.3+0.5-1>3$

$\displaystyle 3n\times0.3+0.6>3.5$

$\displaystyle 0.9n>2.9$

$\displaystyle n>3.22$

$\displaystyle n$ 의 값은 $\displaystyle 4$

[문제 2-4]

[채점기준] 총 8점을 배점하고 단계별 부분점수는 다음과 같다.

$\displaystyle a_0$ 는 초기 옆면적 합, $\displaystyle a_1$ 은 1회 자른 후 생성된 옆면적 합, $\displaystyle a_n$ 은 $\displaystyle n$ 회 자른 후 생성된 옆면적 합

+2점 · 일반항

+2점 · 관계식

(1단계) 부분점수 4점

관계식을 바르게 유도했으면 4점을 부여함.

(관계식은 틀렸지만, 공비를 적용하여 정리되면 부분점수 2점 이하 부여 가능).

초기 옆면적 $\displaystyle a_0=x\times0.3\times4\ (x=1000)$ 나눌 때 새롭게 생성되는 추가 옆면적은 아래와 같다.

$\displaystyle a_1=(x\times0.3\times2)$

$\displaystyle a_2=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle a_3=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle b_1=a_2+a_3=\left(x\times\frac12\times0.3\times2\right)\times2$

$\displaystyle a_4=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle a_5=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)$

$\displaystyle b_2=a_4+a_3=\left(x\times\left(\frac12\right)^2\times0.3\times2\right)\times2$ Correction. [문제 2-4]의 $\displaystyle b_2=a_4+a_3$ 은 $\displaystyle b_2=a_4+a_5$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 공비를 $\displaystyle 2^n$ 이라고 쓴 것은 $\displaystyle 2$ 의 오기이다. 제시된 일반항과 이후 계산은 올바르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle b_n=x\times\left(\frac12\right)^n\times0.3\times2\times2$

$\displaystyle (a_2+a_3=b_1),(a_4+a_5=b_2),(a_6+a_7=b_3)\cdots$ 등비수열로 감소함,

+4점 · 옆면적 총합

(2단계) 부분점수 4점

위의 식을 바르게 정리하고 답을 유도했으면 4점을 부여함.

(정답이 아닌 경우, 부분점수 2점 이하 부여 가능)

첫째항이 $\displaystyle b_1$ , 공비가 $\displaystyle \frac12$ 인 등비수열 $\displaystyle {b_n}$ 에서 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle S_n=\frac{600\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)}{1-\frac12}=1200\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)$ , $\displaystyle a_0=1200$ , $\displaystyle a_1=600$

$\displaystyle n$ 를 한없이 반복할 때,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(S_n+a_0+a_1)=1200+1200+600=3000$

답은 3000

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