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이학계열 1-3번

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한국항공대 2024학년도 수시 이학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/ihak_1_3

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배점16점
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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

다) 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) n=1\displaystyle n=1일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ii) n=k\displaystyle n=k일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

라) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 r\displaystyle r인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에서 제n\displaystyle n항에 공비 r\displaystyle r를 곱하면 제(n+1)\displaystyle (n+1)항이 되므로an+1=ran\displaystyle a_{n+1}=ra_n (n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots)이 성립한다.

[문제 1-3] h>0\displaystyle h>0일 때, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이a1=1,an+1=an+h,\displaystyle a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+h,b1=1,bn+1=bn(1+h)\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n(1+h)이다. 수학적 귀납법을 이용하여 n≥3\displaystyle n\geq3일 때, an\displaystyle a_n과 bn\displaystyle b_n의 대소관계를 비교하려고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) n=3\displaystyle n=3일 때 b3−a3>0\displaystyle b_3-a_3>0임을 보이시오.

(2) n=k\displaystyle n=k (k≥3)\displaystyle (k\geq3)일 때 bk−ak>0\displaystyle b_k-a_k>0이 성립한다고 가정하면, bk+1−ak+1>0\displaystyle b_{k+1}-a_{k+1}>0임을 보이시오.

(3) (1)과 (2)를 통하여 알 수 있는 결론을 쓰시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2024학년도 수시 이학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/ihak_1_3

[문제 1-3] (17점)Correction. 예시답안 제목의 ‘[문제 1-3] (17점)’은 ‘(16점)’의 오기이다. 채점표와 예시답안의 소문항 배점은 모두 6+5+5=16\displaystyle 6+5+5=16점이다. 다만 일부 세부 배점과 감점 기준은 자료마다 달라 어느 기준을 의도했는지는 확정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1) (6점)

+1.5점 · b3=b2(1+h)=b1(1+h)2=(1+h)2\displaystyle b_3=b_2(1+h)=b_1(1+h)^2=(1+h)^2

b3=b2(1+h)=b1(1+h)2=(1+h)2\displaystyle b_3=b_2(1+h)=b_1(1+h)^2=(1+h)^2

+1.5점 · a3=a2+h=a1+2h=1+2h\displaystyle a_3=a_2+h=a_1+2h=1+2h

a3=a2+h=a1+2h=1+2h\displaystyle a_3=a_2+h=a_1+2h=1+2h

+3점 · b3−a3=h2>0\displaystyle b_3-a_3=h^2>0

b3−a3=(1+h)2−(1+2h)=1+2h+h2−(1+2h)=h2>0\displaystyle b_3-a_3=(1+h)^2-(1+2h)=1+2h+h^2-(1+2h)=h^2>0

(2) (5점)

+5점 · bk+1−ak+1>0\displaystyle b_{k+1}-a_{k+1}>0 임을 보일 수 있다.

bk+1=bk(1+h)>ak(1+h)=ak+hak>ak+h=ak+1\displaystyle b_{k+1}=b_k(1+h)>a_k(1+h)=a_k+ha_k>a_k+h=a_{k+1}

(3) (5점)

답변 채점표:● 이 문제의 답은 2개가 있음. 두 방법 어느 것도 무방함.

+1점 · (1)과 (2)에 의하여 n≥3\displaystyle n\geq3 인

(1)과 (2)에 의하여 n≥3\displaystyle n\geq3 인

+1점 · 모든 자연수 n\displaystyle n

모든 자연수 n\displaystyle n

+3점 · 에 대하여 bn>an\displaystyle b_n>a_n 이 성립한다.

에 대하여 bn>an\displaystyle b_n>a_n 이 성립한다.

하위문항채점기준배점
1-3 (1)b3−a3>0\displaystyle b_3-a_3>0임을 보일 수 있다. • a3\displaystyle a_3을 맞았다면 (2점) • b3\displaystyle b_3이 맞았다면 (2점) • 계산이 맞았다면 (2점) • 작은 계산 실수가 존재한다면 (-3점)6점
1-3 (2)bk+1−ak+1>0\displaystyle b_{k+1}-a_{k+1}>0 임을 보일 수 있다. • 계산이 맞았다면 (5점)5점
1-3 (3)증명의 최종 목표를 보일 수 있다. • n≥3\displaystyle n\geq3 인 조건이 있다면 (2점) • 모든 자연수 n 의 조건이 있다면 (1점) • bn>an\displaystyle b_n>a_n (2점)5점

채점 기준:● 문제 채점은 과정과 답으로 나누어서 함.● 답을 확인하여 맞는 경우 > 과정에서 실수로 감점.● 답을 확인하여 틀린 경우 > 과정에서 부분 점수 부여.● 과정에 사소한 실수 > -2점- 사소한 실수: 부호 실수, 계산 실수● 과정에 중대한 실수 > 해당 영역 0점 처리- 사소한 실수로 전혀 다른 과정으로 변경- 비논리적인 전개● 과정이 없는 경우 > 정답에 관계 없이 0점 처리

채점 기준:● 답은 맞지만 사소한 계산 실수가 있는 경우 각 실수 당 -2점● 단계를 생략한 경우 - 유추를 통해 각 단계가 생략된 것이 명백하다면 감점이 없음.● 답을 바로 작성한 경우는 과정이 없는 것으로 판단함.

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