이학계열 1-2번

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한국항공대 2024학년도 수시 이학계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/ihak_1_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

나) 두 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ , $\displaystyle g:Y\to Z$ 의 합성함수는 $\displaystyle g\circ f:X\to Z,\quad(g\circ f)(x)=g(f(x))$ 이다.

[문제 1-2] 두 함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&(x\geq0)\\0&(x<0)\end{cases}$ , $\displaystyle g(x)=-(x-k)^2+4$ 에 대하여 정적분 $\displaystyle \int_{-5}^4(f\circ g)(x)\,dx$ 의 값을 $\displaystyle h(k)$ 라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 실수)

(1) $\displaystyle h(k)$ 가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle k$ 의 값의 범위를 구하시오.

(2) $\displaystyle h(k)$ 의 최댓값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2024학년도 수시 이학계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2024su/ihak_1_2

(1) (6점)

+3점 ·

\displaystyle f(g(x))

의 그래프를 그리면 (3점) 또는 영역을 나누어서 적분하면 (3점)

채점 기준:● 이 문제는 푸는 대표적인 방법이 2개가 있음. 두 방법 어느 것도 무방함.과정 채점표:● 예시1) 함성함수의 그래프를 그려 이를 바탕으로 $\displaystyle k$ 값의 범위를 찾는 경우

● 예시2) 함성함수의 적분을 하는 경우● 그 외 논리적 설명이 있는 경우

+3점 ·

\displaystyle k

값의 범위를 찾으면

답변 채점표:● 한 쪽 또는 두 쪽의 부등호에 같다가 없는 경우 -1점예시) $\displaystyle -3<k\leq2$

정답) $\displaystyle -3\leq k\leq2$

(2) (4점)

+1점 · 정적분을 맞게 쓰면

과정 채점 기준:● $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle -3\leq k\leq2$ 사이의 어느 숫자도 가능함.예시 과정:● $\displaystyle \int_{-5}^{-1}(f\circ g)(x)\,dx=\int_2^{-2}g(x)\,dx$ ( $\displaystyle \because k=0$ )

+3점 · 정적분을 맞게 계산하면

$\displaystyle \frac{32}{3}$

정답) $\displaystyle \frac{32}{3}$

하위문항	채점기준	배점
1-2 (1)	$\displaystyle f(g(x))$ 를 그래프로 그려 $\displaystyle k$ 값을 찾을 수 있다. • $\displaystyle f(g(x))$ 의 그래프를 그리면 (3점) 또는 영역을 나누어서 적분하면 (3점) • $\displaystyle k$ 값의 범위를 찾으면 (3점)	6점
1-2 (2)	$\displaystyle h(x)$ 의 정적분을 할 수 있다. • 정적분을 맞게 쓰면 (1점) • 정적분을 맞게 계산하면 (3점)	4점

Correction. 왼쪽 적분의 위끝 $\displaystyle -1$ 은 $\displaystyle 4$ 의 오기이며, 오른쪽 적분의 아래끝 $\displaystyle 2$ 와 위끝 $\displaystyle -2$ 는 각각 $\displaystyle -2$ 와 $\displaystyle 2$ 의 오기이다. 최종값 $\displaystyle \frac{32}{3}$ 은 올바르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Correction. 이 소문항에서 계산하는 정적분은 합성함수 $\displaystyle f\circ g$ 의 정적분이며, $\displaystyle h(k)$ 는 그 정적분의 값으로 정의되어 있다. 채점기준의 “ $\displaystyle h(x)$ 의 정적분”은 대상 함수 표기가 맞지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

채점 기준:● 문제 채점은 과정과 답으로 나누어서 함.● 답을 확인하여 맞는 경우 > 과정에서 실수로 감점.● 답을 확인하여 틀린 경우 > 과정에서 부분 점수 부여.● 과정에 사소한 실수 > -2점- 사소한 실수: 부호 실수, 계산 실수● 과정에 중대한 실수 > 해당 영역 0점 처리- 사소한 실수로 전혀 다른 과정으로 변경- 비논리적인 전개● 과정이 없는 경우 > 정답에 관계 없이 0점 처리

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