이학계열 2-2번

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한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_2_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 이다.

나) 사인함수 $\displaystyle y=\sin x$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.(1) 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역은 $\displaystyle \{y\mid-1\leq y\leq1\}$ 이다.(2) 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 인 주기함수이다. 즉, $\displaystyle \sin(x+2n\pi)=\sin x$ (단, $\displaystyle n$ 은 정수)

다) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하면 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

라) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 일 때, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

[문제 2-2] 자연수 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle 0\leq a<1$ 인 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle n+a$ 는 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle x^3+6x^2+12x-k+8=0$ 의 한 근이다. $\displaystyle n^2-2na<0$ 이 성립할 때, 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위를 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_2_2

+3점 · 조건을 이용하여 미지수가 1개인 연립부등식을 활용하여

\displaystyle n

의 값을 구하면 (3점)

$\displaystyle n^2-2na<0$ --①이므로 $\displaystyle n^2<2na$ 이다. $\displaystyle 0\leq a<1$ 이므로 $\displaystyle n^2<2na<2n$ 이다.따라서 $\displaystyle n^2-2n<0$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n=1$ 이다.

+3점 · 연립부등식을 활용하여

\displaystyle a

의 범위를 구하면 (3점)

$\displaystyle n=1$ 을 ①에 대입하면, $\displaystyle \frac{1}{2}<a$ — ②따라서 ②와 $\displaystyle 0\leq a<1$ 을 동시에 만족하는 $\displaystyle a$ 의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$ 이다. — ③

+6점 · 인수분해를 활용하여 실수

\displaystyle k

의 값의 범위를 구하면 (6점)[풀이1]

$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2+12x+8$ 이라 하면, 주어진 방정식의 해는함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이다.다항식 $\displaystyle f(x)$ 를 정리하면 $\displaystyle f(x)=(x+2)^3$ 이고 $\displaystyle n+a$ 가 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 한 근이므로, $\displaystyle (n+a+2)^3=k$ ( $\displaystyle n$ 은 자연수, $\displaystyle 0\leq a<1$ )를 만족한다. $\displaystyle n=1$ 과 ③에 의해 $\displaystyle \frac{7}{2}<n+a+2<4$ 이다.[4점]그러므로 실수 $\displaystyle k$ 의 범위는 $\displaystyle \left(\frac{7}{2}\right)^3<k<4^3$ (또는 $\displaystyle \frac{343}{8}<k<64$ ).[2점]

주어진 조건을 미지수가 1개인 연립부등식으로 나타내고, 인수분해를 활용하여(또는 연속함수의 성질) 값의 범위를 구할 수 있다.

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