수리논술, 이게 다다.

공학계열 1-3번

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한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_3

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 수렴하는 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}에 대하여 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\leq c_n\leq b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이면lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x)dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx (단, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}, xk=a+kΔx\displaystyle x_k=a+k\Delta x)

[문제 1-3] 제시문 다)를 이용하여 함수 f(x)=ln⁡3x\displaystyle f(x)=\ln3x에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1n(23n+2k)f(3+2kn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{3n+2k}\right)f\left(3+\frac{2k}{n}\right)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_3

+4점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 정적분으로 바르게 나타낼 수 있다.

lim⁡n→∞∑k=1n23n+2kf(3+2kn)=lim⁡n→∞∑k=1n13+2knf(3+2kn)2n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3n+2k}f\left(3+\frac{2k}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3+\frac{2k}{n}}f\left(3+\frac{2k}{n}\right)\frac{2}{n}

+5점 · 변수를 변환하여 치환적분의 과정을 논리적으로 수행할 수 있다.

제시문 다)에서, 3+2kn=xk\displaystyle 3+\frac{2k}{n}=x_k라 하면 2n=Δx\displaystyle \frac{2}{n}=\Delta x, a=3\displaystyle a=3, b=5\displaystyle b=5이므로lim⁡n→∞∑k=1n13+2knf(3+2kn)2n=lim⁡n→∞∑k=1n1xkf(xk)Δx=∫351xf(x)dx=∫35ln⁡3xxdx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3+\frac{2k}{n}}f\left(3+\frac{2k}{n}\right)\frac{2}{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}f(x_k)\Delta x=\int_3^5\frac{1}{x}f(x)dx=\int_3^5\frac{\ln3x}{x}dx

+5점 · 치환한 함수의 정적분을 정확히 계산할 수 있다.

t=ln⁡3x\displaystyle t=\ln3x라 하면 dtdx=1x\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}이고,x=3\displaystyle x=3일 때, t=ln⁡9\displaystyle t=\ln9, x=5\displaystyle x=5일 때, t=ln⁡15\displaystyle t=\ln15이다.따라서, lim⁡n→∞∑k=1n23n+2kf(3+2kn)=∫ln⁡9ln⁡15t dt=[12t2]ln⁡9ln⁡15=(ln⁡15)2−(ln⁡9)22\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3n+2k}f\left(3+\frac{2k}{n}\right)=\int_{\ln9}^{\ln15}t\,dt=\Biggl[\frac{1}{2}t^2\Biggr]_{\ln9}^{\ln15}=\frac{(\ln15)^2-(\ln9)^2}{2}[참고] 위의 해는 다음과 같은 결과 등 다양한 형태로도 나타날 수 있다.(ln⁡15)2−(ln⁡9)22=(ln⁡15+ln⁡9)(ln⁡15−ln⁡9)2=(ln⁡5+3ln⁡3)(ln⁡5−ln⁡3)2=(ln⁡5)2+2ln⁡5ln⁡3−3(ln⁡3)22\displaystyle \begin{aligned}\frac{(\ln15)^2-(\ln9)^2}{2}&=\frac{(\ln15+\ln9)(\ln15-\ln9)}{2}\\&=\frac{(\ln5+3\ln3)(\ln5-\ln3)}{2}=\frac{(\ln5)^2+2\ln5\ln3-3(\ln3)^2}{2}\end{aligned}

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