공학계열 1-3번

(1) $\displaystyle I(2)$의 값 (4점)$\displaystyle u=1+2\cos\theta$ 로 치환하면, $\displaystyle \frac{du}{d\theta}=-2\sin\theta$ 이고,$\displaystyle \theta=0$ 일 때 $\displaystyle u=3$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$일 때 $\displaystyle u=1$ 이므로[1점]

$\displaystyle \begin{aligned}I(2)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\theta}{1+2\cos\theta}\,d\theta=\int_3^1\frac{-1}{2u}\,du\\&=\frac12\int_1^3\frac1u\,du=\frac12\Biggl[\ln|u|\Biggr]_1^3=\frac{\ln3}{2}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle I(2)=\frac{\ln3}{2}$[3점]

(2) 함수 $\displaystyle I(x)$가 연속인지 불연속인지 조사 (8점)$\displaystyle x=0$ 일 때,$\displaystyle I(0)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\,d\theta=\Biggl[-\cos\theta\Biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$[1점]$\displaystyle x>0$ 일 때,$\displaystyle u=1+x\cos\theta$ 로 치환하면, $\displaystyle \frac{du}{d\theta}=-x\sin\theta$ 이고,$\displaystyle \theta=0$ 일 때 $\displaystyle u=x+1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 $\displaystyle u=1$ 이므로$\displaystyle \begin{aligned}I(x)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\theta}{1+x\cos\theta}\,d\theta=-\frac1x\int_{x+1}^1\frac1u\,du\\&=\frac1x\int_1^{x+1}\frac1u\,du=\frac1x\Biggl[\ln|u|\Biggr]_1^{x+1}=\frac{\ln(x+1)}{x}\end{aligned}$$\displaystyle I(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}$ $\displaystyle (x>0)$[3점]

따라서, $\displaystyle I(x)=\begin{cases}1&(x=0)\\\frac{\ln(x+1)}{x}&(x>0)\end{cases}$이고, $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle \ln(x+1)$과 $\displaystyle \frac1x$는 연속이므로 $\displaystyle I(x)$는 연속이다.[2점]$\displaystyle x=0$일 때,$\displaystyle \lim_{x\to0+}I(x)=\lim_{x\to0+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$$\displaystyle I(0)=\lim_{x\to0+}I(x)=1$따라서, $\displaystyle I(x)$는 $\displaystyle x\geq0$에서 연속이다.[2점]

(3) 함수 $\displaystyle I(x)$의 증가와 감소를 조사 (8점)$\displaystyle I(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}$의 증감 확인$\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$일 때 증가, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$일 때 감소한다.$\displaystyle I(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}$$\displaystyle \begin{aligned}I^{\prime}(x)&=-\frac{\ln(x+1)}{x^2}+\frac1x\frac1{x+1}\\&=\frac{x-(x+1)\ln(x+1)}{x^2(x+1)}\end{aligned}$[3점]

$\displaystyle I^{\prime}(x)$의 분자를 $\displaystyle N(x)$, 분모를 $\displaystyle D(x)$라 하자.분모 $\displaystyle D(x)=x^2(x+1)>0$이므로 $\displaystyle I^{\prime}(x)$의 부호와 $\displaystyle N(x)$의 부호는 같다.$\displaystyle N(x)=x-(x+1)\ln(x+1)$$\displaystyle N(0)=0$$\displaystyle N^{\prime}(x)=1-\ln(x+1)-1=-\ln(x+1)$이므로$\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle N^{\prime}(x)<0$즉, $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle N(x)<0$ 이다.[3점]$\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle I^{\prime}(x)<0$ 이므로 $\displaystyle I(x)$는 감소한다.$\displaystyle x\geq0$일 때 $\displaystyle I(x)$는 연속이고, $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle I(x)$는 미분가능하므로따라서, $\displaystyle x\geq0$ 일 때 $\displaystyle I(x)$는 감소한다.[2점]