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이학계열 1-1번

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한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_1_1

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문제

가) 미분가능한 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 도함수는f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

나) 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라고 하면α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면r≠1\displaystyle r\ne1일 때, Sn=a(1−rn)1−r\displaystyle S_n=a\frac{(1-r^n)}{1-r}r=1\displaystyle r=1일 때, Sn=na\displaystyle S_n=na

라) 함수 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x는 주기가 2π\displaystyle 2\pi인 주기 함수이다.

[문제 1-1] 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 가)를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)

(2) 함수 g(x)=(x2+1)f(x)\displaystyle g(x)=(x^2+1)f(x)에 대하여 g′(1)\displaystyle g^{\prime}(1)의 값을 구하시오. (단, f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f′(1)=1\displaystyle f^{\prime}(1)=1)

해설강의 준비중

한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_1_1

+7.7점 · 미분의 정의를 쓰고, 중간항을 더하고 빼어 두 항으로 분리하는 전개 과정(네모 안 식)이 모두 제시된 경우

(1) (7.7점){f(x)g(x)}′=lim⁡h→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=lim⁡h→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)h=lim⁡h→0{f(x+h)−f(x)}g(x+h)+f(x){g(x+h)−g(x)}h=lim⁡h→0{f(x+h)−f(x)}g(x+h)h+lim⁡h→0f(x){g(x+h)−g(x)}h=lim⁡h→0{f(x+h)−f(x)}h×lim⁡h→0g(x+h)+lim⁡h→0f(x)×lim⁡h→0{g(x+h)−g(x)}h=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \begin{aligned}\{f(x)g(x)\}^{\prime}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)\boxed{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\&=\boxed{\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)}{h}}+\boxed{\lim_{h\to0}\frac{f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}}{h}\times\lim_{h\to0}g(x+h)+\lim_{h\to0}f(x)\times\lim_{h\to0}\frac{\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\&=\boxed{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)}\end{aligned}

+3.3점 · 곱의 미분법을 정확히 적용하여 도함수를 구하고, 값을 올바르게 계산한 경우

(2) (3.3점)g′(x)=ddx{(x2+1)f(x)}={(x2+1)f(x)}′={(x2+1)}′f(x)+{(x2+1)}f′(x)=2xf(x)+{(x2+1)}f′(x)\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)f(x)\}\\&=\{(x^2+1)f(x)\}^{\prime}=\{(x^2+1)\}^{\prime}f(x)+\{(x^2+1)\}f^{\prime}(x)=2xf(x)+\{(x^2+1)\}f^{\prime}(x)\end{aligned}g′(1)=(2×1)f(1)+(12+1)f′(1)=2f(1)+2f′(1)=6\displaystyle g^{\prime}(1)=(2\times1)f(1)+(1^2+1)f^{\prime}(1)=2f(1)+2f^{\prime}(1)=6답 6\displaystyle 6

하위문항채점기준배점
1-1 (1)미분의 정의를 쓰고, 중간항을 더하고 빼어 두 항으로 분리하는 전개 과정(네모 안 식)이 모두 제시된 경우7.7
1-1 (1)네모 안의 식이 1개 누락된 경우5.7
1-1 (1)네모 안의 식이 2개 누락된 경우3.7
1-1 (1)네모 안의 식이 3개 누락된 경우1.7
1-1 (1)네모 안의 식이 전혀 제시되지 않은 경우3
1-1 (2)곱의 미분법을 정확히 적용하여 도함수를 구하고, 값을 올바르게 계산한 경우3.3
1-1 (2)풀이 과정은 불완전하거나 이해하기 어려우나 최종 답이 맞는 경우1.3
1-1 (2)풀이 과정 중 계산 실수가 있으나 풀이의 방향이 타당한 경우1.3

Correction. 채점기준에서 모두 틀린 경우의 3점은 0점의 오기이다. 같은 자료의 예시답안별 배점에도 0점이 명시되어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1) 채점기준

● 네모 안의 표현이 모두 있는 경우: 7.7

● 네모 안의 표현이 1개 빠진 경우: 5.7

● 네모 안의 표현이 2개 빠진 경우: 3.7

● 네모 안의 표현이 3개 빠진 경우: 1.7

● 네모 안의 표현이 하나도 없는 경우: 0

(2) 채점기준

● 답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우: 3.3

● 이해할 수 없는 과정과 답만 맞은 경우: 1.3

● 풀이과정 중에 실수가 있는 경우: 1.3

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