이학계열 2-4번

$\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle y=x^2$과 $\displaystyle y=-kx+2k^2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=-2k$이다. 따라서$\displaystyle A_k$의 넓이를 구하면 $\displaystyle S(k)=\int_{-2k}^0(-x^2-kx+2k^2)\,dx=\frac{10}{3}k^3$이다.

$\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle y=x$와 $\displaystyle y=-kx+2k^2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{2k^2}{k+1}$이다. $\displaystyle B_k$는 $\displaystyle y$절편이 밑변이고 높이가 교점의 $\displaystyle x$좌표인 삼각형의 넓이이므로 $\displaystyle T(k)=\frac{2k^4}{k+1}$이다.---①

따라서 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{S(k)}{T(k)}=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{10}{3}k^3\times\frac{k+1}{2k^4}\right)=\lim_{k\to\infty}\frac{5(k+1)}{3k}=\frac53$이다.

(2) (6점)$\displaystyle k=1$일 때 $\displaystyle \alpha=-2$이므로, 점 $\displaystyle (-2,4)$를 지나고 $\displaystyle B_1$의 넓이를 이등분하는 직선을 $\displaystyle l$이라 하자.직선 $\displaystyle l$의 기울기를 $\displaystyle m$이라 할 때 직선의 방정식은 $\displaystyle y-4=m(x+2)$ --- ①직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle y=x$의 교점은 ①에 $\displaystyle y=x$를 대입하여 $\displaystyle x-4=m(x+2)$이므로 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{2m+4}{1-m}$---②$\displaystyle k=1$일 때 $\displaystyle B_1$의 넓이는 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle \frac12=\frac12\times(2m+4)\times\frac{2m+4}{1-m}$이다. 이를 정리하면$\displaystyle 4m^2+17m+15=0$이다. 이때 $\displaystyle m=-3$, $\displaystyle m=-\frac54$.

그런데 이 직선의 기울기는 $\displaystyle -2<m<-1$이므로, 직선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle m=-\frac54$이다.