자연계열 1번

[가] 사람들의 관심이 변하지 않는 것에서 변하는 것으로 바뀌면서 변화를 나타낼 수 있는 수단이 필요하게 되었다. 움직이는 물체의 위치변화, 높이에 따른 온도변화 등을 수학적으로 표현해 주는 것이 함수이다. 함수를 ‘변수와 상수로 이루어진 해석적인 식’이라고 한 오일러(Euler)의 정의는 훗날 코시(Cauchy)에 의해 더욱 정교해지고 확장되었다. 함수는 두 변수 사이의 관계, 두 값 사이의 대응으로 자연현상이나 사회현상을 설명하고, 그 속에서 일어나는 여러 가지 문제를 해결해 준다. 집합 $\displaystyle X$의 각 원소에 집합 $\displaystyle Y$의 원소가 오직 하나씩 대응할 때 이 대응을 집합 $\displaystyle X$에서 집합 $\displaystyle Y$로의 함수라 하고, 기호로 $\displaystyle f:X\to Y$와 같이 나타낸다. 이 때, 집합 $\displaystyle X$를 함수 $\displaystyle f$의 정의역, 집합 $\displaystyle Y$를 함수 $\displaystyle f$의 공역이라 한다. 함수 $\displaystyle f$에 의하여 집합 $\displaystyle X$의 원소 $\displaystyle x$에 집합 $\displaystyle Y$의 원소 $\displaystyle y$가 대응할 때, 이것을 기호로 $\displaystyle y=f(x)$와 같이 나타낸다. 특히, 정의역의 모든 원소가 공역의 한 원소에 대응하는 함수 $\displaystyle f$를 상수함수라 하고, 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x$에 대한 이차식인 함수를 이차함수라 한다.

[나] 미분은 움직이는 물체의 순간속도, 가속도를 구하거나 경제활동에서 앞으로의 경기나 주가의 변동을 예측할 때 이용된다.미분법은 17세기 후반에 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의하여 학문적 체계가 갖추어졌다. 뉴턴은 역학적인 관점에서, 라이프니츠는 기하학적인 접선의 관점에서 독립적으로 미분법을 연구하였다. 미분은 자연과학 전반에 걸쳐 큰 영향을 끼쳤으며 경제학, 의학 등의 다양한 분야에서 활용되고 있다. 함수 $\displaystyle y=f(x)$에서 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle a+h$까지 변할 때의 평균변화율에서 $\displaystyle h$가 한없이 $\displaystyle 0$에 가까워질 때의 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$가 존재하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다고 한다. 그리고 이 극한값을 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 $\displaystyle x=a$에서의 순간변화율 또는 미분계수라 하고, 기호로 $\displaystyle f^{\prime}(a)$와 같이 나타낸다. 또한, $\displaystyle y=f(x)$의 정의역에 속하는 임의의 원소 $\displaystyle x$에 대하여 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 대응시키면 새로운 함수 $\displaystyle f^{\prime}:x\to f^{\prime}(x)$를 얻는다. 이때, $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 $\displaystyle f(x)$의 도함수라 부른다.

[다] 적분법은 우리의 실생활에서 다양하게 이용되고 있다. 예를 들면, 건축 설계도에서 넓이를 구하고, 건물의 용적을 계산하며, 또 강 위에 하중을 고려하여 다리를 놓는 등 여러 분야에서 활용하고 있다. 나아가 달이나 화성에 보내는 우주탐사선, 지구 궤도를 돌고 있는 인공위성의 거리와 속도를 고려한 운동방정식을 통해 역학적 문제를 해결하고 있다.17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의하여 만들어진 적분법은 19세기 독일의 리만(Riemann)에 의하여 그 체계가 확립되었다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때 구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝점과 각 등분점을 $\displaystyle a=x_{0},x_{1},\cdots,x_{n}=b$라 하고, 각 소구간의 길이를 $\displaystyle \triangle x=x_{k}-x_{k-1}=\frac{b-a}{n}$ $\displaystyle (k=1,2,\cdots,n)$라 놓으면, 이때 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\cdot\triangle x$가 존재하고, 이 값을 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 정적분이라 하며 기호 $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$로 나타낸다. 정적분을 나타내는 식$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\cdot\triangle x\quad\left(x_{k}=a+\frac{(b-a)k}{n},\ \triangle x=\frac{b-a}{n}\right)$는 극한을 이용하여 정의됨으로, 역으로 정적분을 이용하여 극한값을 구할 수도 있다.