자연계열 1번

[가]우리는 일상생활에서 그림이나 사진을 확대하거나 축소하는 경우를 자주 볼 수 있다. 한 도형을 확대하거나 축소하여 얻은 도형은 처음 도형과 크기는 다르지만 모양은 같다. 이와 같이 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 얻게 된 도형이 다른 도형과 합동일 때, 이들 두 도형은 서로 닮음인 관계가 있다고 하며, 닮음인 관계가 있는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 서로 닮은 도형에서 대응하는 선분의 길이의 비를 닮음비라고 한다.

[나]기원전 430년 경 그리스 델로스 섬에는 전염병이 돌고 있었다. 델로스 사람들은 아폴론 신으로부터 ‘전염병을 퇴치하려면 신전에 있는 정육면체 모양의 제단과 닮은 도형이면서 부피가 2배인 제단을 만들라’는 신탁을 받았다. 델로스 사람들은 정육면체 모양의 제단을 2개 붙여 제단을 만들었는데, 아폴론 신은 부피는 2배이지만 닮은 도형이 아니라고 했다. 그래서 델로스 사람들은 정육면체 각 모서리의 길이를 2배로 늘인 정육면체 제단을 만들었다. 그러자 아폴론 신은 이번에는 닮은 도형이지만 부피가 8배가 되었다며 다시 만들라고 하였다.

[다]각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같은 볼록한 다면체를 정다면체라고 한다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지가 있다. 한편, 두 종류 이상의 정다각형인 면으로 둘러싸여 있으면서 구에 내접하는 다면체를 준정다면체라고 한다. 대표적인 것으로 아르키메데스의 입체라 불리는 13개의 준정다면체가 있다. 아르키메데스의 입체는 아르키메데스의 저서가 전해지지 않아 그 구체적인 모양이 한동안 알려지지 않았었다. 그러나 르네상스 시대부터 여러 수학자들의 노력의 결과로 차츰 모양이 밝혀졌으며, 마침내 1619년 캐플러에 의해서 모두 밝혀졌다. 아르키메데스의 입체 중에서 ‘깎은 정사면체’, ‘깎은 정육면체’, ‘깎은 정팔면체’, ‘깎은 정십이면체’, ‘깎은 정이십면체’ 등 깎은 정다면체들은 정다면체를 각 꼭짓점으로부터 일정한 거리에 있는 지점을 지나는 평면으로 잘라 내어 만든 것이다. 예를 들어 깎은 정사면체는 정사면체로부터 만들어진 것으로 정삼각형 4개, 정육각형 4개로 이루어져 있다.