자연계열 3번

가. 문제 1)

(풀이 예시 1)

(10점)

위의 그림과 같은 배열에서 각각의 빈 부분은 주위에 동전 세 개와 접하여 있고 각각의 동전은 주위에 여섯 개의 빈 부분과 접하여 있다. 전체 고체에서 빈 부분의 중심과 동전의 중심을 연결하는 선의 수를 생각하여 보자. 동전의 수가 $\displaystyle A$, 빈 부분의 수가 $\displaystyle B$이므로 선의 수는 $\displaystyle 6A$ 또는 $\displaystyle 3B$가 된다. 즉, $\displaystyle 6A=3B$이므로 $\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$이다.

즉, $\displaystyle A:B=1:2$이다.

(7점)

선의 수 $\displaystyle =6A=3B$, $\displaystyle A:B=1:2$

(풀이 예시 2)

(10점)

동전의 배열은 다음 그림에서처럼 같은 모양의 단위 평행사변형이 무한히 반복되어 있는 것으로 이해할 수 있다.

따라서 전체 공간에서 동전의 수$\displaystyle (A)$와 빈 부분의 수$\displaystyle (B)$의 비는 평행사변형 안에 있는 동전의 수와 빈 부분의 수의 비와 같다.

평행사변형 안에는 두 개의 빈부분이 존재하고 동전은 전체 동전 면적의 $\displaystyle \frac{1}{3}(=\frac{120^\circ}{360^\circ})$부분이 두 개 그리고 $\displaystyle \frac{1}{6}(=\frac{60^\circ}{360^\circ})$부분이 두 개 존재한다. 따라서 평행사변형 안에 동전은 한 개 $\displaystyle (1=2\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{6})$ 존재한다고 생각할 수 있다. 그러므로 동전의 수 $\displaystyle (A)$와 빈 부분의 수 $\displaystyle (B)$의 비 $\displaystyle (A:B)$는 1:2이다.

(9점)

평행사변형 안에는 두 개의 빈부분이 존재하고 동전은 전체 동전 면적의 $\displaystyle \frac{1}{3}(=\frac{120^\circ}{360^\circ})$부분이 두 개 그리고 $\displaystyle \frac{1}{6}(=\frac{60^\circ}{360^\circ})$부분이 두 개 존재한다. 따라서 평행사변형 안에 동전은 한 개 $\displaystyle (1=2\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{3})$ 존재한다고 생각할 수 있다. 그러므로 동전의 수 $\displaystyle (A)$와 빈 부분의 수 $\displaystyle (B)$의 비 $\displaystyle (A:B)$는 1:2이다.

(풀이 예시 2 - 유사)

주어진 문제는 위의 그림에서처럼 정삼각형, 정육각형, 사다리꼴 등 전체 고체가 주어진 단위 모양이 규칙적으로 배열되어 있다는 것을 제시하고 풀어도 된다.

(풀이 예시 3)

가로 $\displaystyle n$개, 세로 $\displaystyle m$개의 동전으로 이루어진 배열에는 $\displaystyle nm$개의 동전이 존재한다. 그 안에는 $\displaystyle (n-1)(m-1)$개의 단위 평행사변형이 존재하고 각 사변형 안에는 2개의 빈 부분이 존재한다. 따라서, 동전의 수 : 빈 부분의 수,$\displaystyle A:B=\lim_{n,m\to\infty}nm:\lim_{n,m\to\infty}2(n-1)(m-1)=2:1$가 된다.

[정확한 것은 $\displaystyle A:B=\lim_{n,m\to\infty}(n-1)(m-1):\lim_{n,m\to\infty}2(n-1)(m-1)=2:1$이나 결국 $\displaystyle \lim_{n,m\to\infty}$이 되므로 위의 풀이로 접근하여도 논리적으로 문제가 없다.]

[가로 $\displaystyle n$개, 세로 $\displaystyle n$개의 동전으로 이루어진 배열에는 $\displaystyle n^2$개의 동전이 존재한다. ... 라고 하여도 맞게 풀이한 것이다.]Correction. 풀이 예시 3의 두 식에 적힌 비 $\displaystyle 2:1$은 $\displaystyle 1:2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 극한의 존재를 확인하기 전에 수렴을 가정하거나 극한의 연산 법칙을 적용해선 안 된다: 풀이 예시 3은 유한한 배열에서 동전과 빈 부분의 개수 비가 가까워지는 값을 구하는 것으로 이해할 수 있다. 다만 두 개수는 각각 무한대로 발산하므로, 각각의 극한을 취한 뒤 그 비를 계산할 수는 없다. 가로와 세로에 동전을 각각 $\displaystyle n$개씩 놓으면 동전은 $\displaystyle n^2$개, 빈 부분은 $\displaystyle 2(n-1)^2$개이므로, 먼저 유한한 배열의 비를 만든 뒤$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2(n-1)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac1{2(1-1/n)^2}=\frac12$로 계산해야 한다. 따라서 동전의 수와 빈 부분의 수의 비는 $\displaystyle 1:2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(풀이 예시 4)

가로 $\displaystyle n$개, 세로 $\displaystyle n$개의 동전으로 이루어진 마름모꼴 배열을 생각하여보자.$\displaystyle n$의 수에 따라

가 되고 빈부분의 수 an은 다음의 규칙을 가지게 된다.

$\displaystyle a_2-a_1=2$$\displaystyle a_3-a_2=4$Correction. 표에서 $\displaystyle a_3=8$, $\displaystyle a_2=2$이므로 $\displaystyle a_3-a_2=6$이다. 원문의 $\displaystyle 4$는 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a_4-a_3=10$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle a_{n+1}-a_n=4n-2$

따라서, 위의 식을 변끼리 모두 더하면an+1 - a1 = $\displaystyle \sum_{n=1}^{n}(4n-2)$ = 4 x $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ - 2n = 2n2 이므로

동전의 수 : 빈 부분의 수 = A:B = n2:2n2 = 1:2 이다.Caution. 극한값에 가까워진다는 사실을 그 값과 같다는 뜻으로 해석해선 안 된다: 풀이 예시 4에서 동전이 $\displaystyle n^2$개인 배열의 빈 부분은 $\displaystyle a_n=2(n-1)^2$개이다. 따라서 유한 배열의 동전 수와 빈 부분 수의 비는 $\displaystyle n^2:2(n-1)^2$이며, 곧바로 $\displaystyle 1:2$가 되는 것은 아니다. 이 비는 $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle 1:2$로 수렴한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.