자연계열 I 2번

【제시문 1】

양의 실수 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$에 대하여, $\displaystyle \alpha\beta$는 [그림 a]와 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$인 직사각형의 넓이가 된다.

【제시문 2】

함수 $\displaystyle y=f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle f(x)\ge0$이면 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$는 [그림 b]와 같이 $\displaystyle A$ 부분의 넓이가 된다.

【제시문 3】

【물음 1】$\displaystyle p$는 1보다 큰 실수이고 $\displaystyle q$는 식 $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$을 만족한다고 하자. 【제시문 3】에 근거하여 함수 $\displaystyle y=x^{p-1}$의 역함수는 $\displaystyle y=x^{q-1}$임을 설명하시오. (30점)

【물음 2】실수 $\displaystyle p,q$는 [물음 1]의 조건을 만족하고, $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 양의 실수라 하자. 정적분 $\displaystyle \int_0^{\alpha}x^{p-1}dx$와 $\displaystyle \int_0^{\beta}x^{q-1}dx$를 계산하고, 부등식$\displaystyle \alpha\beta\le\frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q}$이 성립함을 【제시문 1】,【제시문 2】,【제시문 3】 및 【물음 1】에 근거하여 설명하시오. (30점)

【물음 3】좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$에 대하여 $\displaystyle c=\sqrt{a_1^2+a_2^2},d=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$라고 할 때, 두 점 $\displaystyle \widetilde{A}\left(\frac{a_1}{c},\frac{a_2}{c}\right)$와 $\displaystyle \widetilde{B}\left(\frac{b_1}{d},\frac{b_2}{d}\right)$는 단위원위에 존재한다. 즉, $\displaystyle \frac{a_1^2+a_2^2}{c^2}=1,\frac{b_1^2+b_2^2}{d^2}=1$이다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 물음 3에서 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$가 원점이면 $\displaystyle c=0$ 또는 $\displaystyle d=0$이므로 좌표를 $\displaystyle c$, $\displaystyle d$로 나눌 수 없다. 이 경우 증명할 부등식의 양변은 모두 $\displaystyle 0$이므로 먼저 따로 처리하고, $\displaystyle c,d>0$일 때 대학 풀이를 적용해야 한다. 개별 좌표가 $\displaystyle 0$인 경우에도 물음 2의 부등식이 성립함을 직접 확인하여 적용하면 된다. 따라서 증명할 결론은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이 때, 부등식$\displaystyle |a_1||b_1|+|a_2||b_2|\le\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}$이 성립함을 【물음 2】의 부등식을 이용하여 설명하시오. (40점)