경북대 2015학년도 모의 자연계열 II 2번 해설

【제시문 1】

$\displaystyle X$ 를 구간 $\displaystyle [a,b]$ 의 임의의 값을 취하는 연속확률변수라 하자. $\displaystyle [a,b]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 다음의 두 가지 조건을 만족할 때, $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle X$ 에 대한 확률밀도함수라 한다.(1) $\displaystyle f(x)\ge0$ (2) $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=1$ 이 때, $\displaystyle X$ 의 기댓값 $\displaystyle E(X)$ 는 $\displaystyle E(X)=\int_a^b xf(x)dx$ 와 같이 정의된다.

【제시문 2】

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이면, $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이에 있는 임의의 값 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

【제시문 3】

$\displaystyle y=g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속함수일 때 $\displaystyle \int_a^b g(x)dx$ 의 근사값은 다음과 같은 사다리꼴 공식으로 구할 수 있다. 먼저 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 $\displaystyle n$ 등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로 $\displaystyle a=x_0,\ x_1,\ \cdots,x_n=b$ 라 하고, 양 끝점과 각 분점에서의 함수값을 $\displaystyle y_0=g(a),\ y_1=g(x_1),\ \cdots,\ y_n=g(b)$ 라 하자. $\displaystyle y=g(x)$ 의 위의 점 $\displaystyle (a,y_0),\ (x_1,y_1),\ \cdots,\ (b,y_n)$ 을 연결하여 만든 $\displaystyle n$ 개의 사다리꼴의 넓이의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하면 $\displaystyle S_n=\frac{b-a}{2n}(y_0+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+y_n)$ 이 된다. 이 때, $\displaystyle n$ 이 한없이 커지면 $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle \int_a^b g(x)dx$ 에 한없이 가까워진다. 즉, $\displaystyle \int_a^b g(x)dx=\lim_{n\to\infty}S_n$ 이 된다. (아래 그림 참조)

【물음 1】닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}$ 에 대하여 $\displaystyle \int f(x)dx$ 를 구하시오. 또한 【제시문 1】에 근거하여 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}$ 가 확률밀도함수가 됨을 보이시오. (40점)

【물음 2】 $\displaystyle y=f(x)$ 를 【물음 1】에서 주어진 함수라 하자. 【제시문 2】에 근거하여 $\displaystyle x=0,\ x=\frac{\pi}{2},\ y=0,\ y=f(c)$ 로 둘러쌓인 사각형의 넓이가 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$ 와 같아지도록 하는 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 에 존재함을 보이시오. (20점)

【물음 3】연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수가 【물음 1】에서 주어진 $\displaystyle f(x)$ 라고 하자. 【제시문 1】과 【제시문 3】의 방법을 이용하여 $\displaystyle n=6$ 일 때 $\displaystyle E(X)$ 의 근사값을 구하시오. (40점)

경북대 2015학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2015mo/jayeon2_2

+40점

【물음 1】(1) $\displaystyle \tan\frac{x}{2}=t$ 라 두면 $\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ 이므로 $\displaystyle \int\frac{1}{1+\sin x}dx=\int\frac{2}{(1+t)^2}dt=-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C$ (단, $\displaystyle C$ 는 적분상수)가 된다.(2) $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 $\displaystyle 0\le\sin x\le1$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}\ge0$ 이다. 또한 (1)의 계산에 의해 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x}dx=\Biggl[-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}\Biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$ 이 된다. 따라서 [제시문 1]에 의해 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}$ 는 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 확률밀도함수이다.

+20점

【물음 2】[물음 1]에 의해 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x}dx=1$ 이다. 또한 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{1+\sin c}$ 이므로 $\displaystyle x=0,\ x=\frac{\pi}{2},\ y=0,\ y=f(c)$ 로 둘러쌓인 사각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{2(1+\sin c)}$ 이다. $\displaystyle \frac{\pi}{2(1+\sin c)}=1\Leftrightarrow\sin c=\frac{\pi}{2}-1$ 이므로, $\displaystyle \sin c=\frac{\pi}{2}-1$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 에 존재함을 증명하면 된다.한편 $\displaystyle \sin0=0<\frac{\pi}{2}-1<1=\sin\frac{\pi}{2}$ 이고 $\displaystyle y=\sin x$ 가 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 연속이므로 [제시문 2]에 의해 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 에 존재한다.

+40점

【물음 3】구하는 평균은 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{1+\sin x}dx$ 이므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 에서 $\displaystyle g(x)=\frac{x}{1+\sin x}$ 라 두자. $\displaystyle n=6$ 일 때, 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 의 양 끝점과 분점의 $\displaystyle x$ -좌표는 $\displaystyle x_0=0,\ x_1=\frac{\pi}{12},\ x_2=\frac{\pi}{6},\ x_3=\frac{\pi}{4},\ x_4=\frac{\pi}{3},\ x_5=\frac{5\pi}{12},\ x_6=\frac{\pi}{2}$ 가 된다. $\displaystyle \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\ \sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ 이므로 각 점에서의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle y_0=0,\ y_1=\frac{\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2},\ y_2=\frac{\pi}{9},\ y_3=\frac{\pi}{4+2\sqrt2},\ y_4=\frac{2\pi}{6+3\sqrt3},\ y_5=\frac{5\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2},\ y_6=\frac{\pi}{4}$ 가 된다.따라서 [제시문 3]에 의해 근삿값은 $\displaystyle S_6$ 은 $\displaystyle \begin{aligned}S_6&=\frac{\frac{\pi}{2}}{2\cdot6}\left(0+2\frac{\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2}+2\frac{\pi}{9}+2\frac{\pi}{4+2\sqrt2}+2\frac{2\pi}{6+3\sqrt3}+2\frac{5\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)\\&=\frac{\pi}{24}\left(\frac{2\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2}+\frac{17\pi}{36}+\frac{\pi}{2+\sqrt2}+\frac{4\pi}{6+3\sqrt3}+\frac{10\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2}\right)\end{aligned}$ 가 된다.

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자연계열 II 2번

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