자연계열 II 2번

【물음 1】(1) $\displaystyle \tan\frac{x}{2}=t$라 두면 $\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ dx=\frac{2}{1+t^2}dt$이므로$\displaystyle \int\frac{1}{1+\sin x}dx=\int\frac{2}{(1+t)^2}dt=-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)가 된다.(2) $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle 0\le\sin x\le1$이므로 $\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}\ge0$이다. 또한 (1)의 계산에 의해$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x}dx=\Biggl[-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}\Biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$이 된다. 따라서 [제시문 1]에 의해 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}$는 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 확률밀도함수이다.

【물음 2】[물음 1]에 의해 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x}dx=1$이다. 또한 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{1+\sin c}$이므로$\displaystyle x=0,\ x=\frac{\pi}{2},\ y=0,\ y=f(c)$로 둘러쌓인 사각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{2(1+\sin c)}$이다.$\displaystyle \frac{\pi}{2(1+\sin c)}=1\Leftrightarrow\sin c=\frac{\pi}{2}-1$이므로, $\displaystyle \sin c=\frac{\pi}{2}-1$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$에 존재함을 증명하면 된다.한편 $\displaystyle \sin0=0<\frac{\pi}{2}-1<1=\sin\frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle y=\sin x$가 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 연속이므로 [제시문 2]에 의해 $\displaystyle c$가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$에 존재한다.

【물음 3】구하는 평균은 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{1+\sin x}dx$이므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle g(x)=\frac{x}{1+\sin x}$라 두자.$\displaystyle n=6$일 때, 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$의 양 끝점과 분점의 $\displaystyle x$-좌표는$\displaystyle x_0=0,\ x_1=\frac{\pi}{12},\ x_2=\frac{\pi}{6},\ x_3=\frac{\pi}{4},\ x_4=\frac{\pi}{3},\ x_5=\frac{5\pi}{12},\ x_6=\frac{\pi}{2}$가 된다.$\displaystyle \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\ \sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$이므로 각 점에서의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle y_0=0,\ y_1=\frac{\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2},\ y_2=\frac{\pi}{9},\ y_3=\frac{\pi}{4+2\sqrt2},\ y_4=\frac{2\pi}{6+3\sqrt3},\ y_5=\frac{5\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2},\ y_6=\frac{\pi}{4}$가 된다.따라서 [제시문 3]에 의해 근삿값은 $\displaystyle S_6$은$\displaystyle \begin{aligned}S_6&=\frac{\frac{\pi}{2}}{2\cdot6}\left(0+2\frac{\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2}+2\frac{\pi}{9}+2\frac{\pi}{4+2\sqrt2}+2\frac{2\pi}{6+3\sqrt3}+2\frac{5\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)\\&=\frac{\pi}{24}\left(\frac{2\pi}{12+3\sqrt6-3\sqrt2}+\frac{17\pi}{36}+\frac{\pi}{2+\sqrt2}+\frac{4\pi}{6+3\sqrt3}+\frac{10\pi}{12+3\sqrt6+3\sqrt2}\right)\end{aligned}$가 된다.