자연계열 II 1번

[물음 1][1] $\displaystyle f:(0,\infty)\to R,\ f(x)=-\ln x$인 경우$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac1x,\quad\forall x\in(0,\infty)$$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{x^2},\quad\forall x\in(0,\infty)$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)\ge0,\quad\forall x\in(0,\infty)$이다.따라서, (명제 1)에 의하여 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle (0,\infty)$에서 볼록함수이다.[2] $\displaystyle g:(0,\pi)\to R,\ g(x)=-\sin x$인 경우$\displaystyle g^{\prime}(x)=-\cos x,\quad\forall x\in(0,\pi)$$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\sin x,\quad\forall x\in(0,\pi)$이므로 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)\ge0,\quad\forall x\in(0,\pi)$이다.따라서, (명제 1)에 의하여 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle (0,\pi)$에서 볼록함수이다.[3] $\displaystyle h:(0,\pi)\to R,\ h(x)=-\ln(\sin x)$인 경우$\displaystyle h^{\prime}(x)=-\frac{\cos x}{\sin x},\quad\forall x\in(0,\pi)$$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\frac1{\sin^2x},\quad\forall x\in(0,\pi)$이므로$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\frac1{\sin^2x}\ge0,\quad\forall x\in(0,\pi)$이다.따라서, (명제1)에 의하여 $\displaystyle h(x)$는 볼록함수이다.

[물음 2]$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\alpha_ix_i\right)=f\left(\sum_{i=1}^k\alpha_ix_i+\alpha_{k+1}x_{k+1}\right)$$\displaystyle =f(1-\alpha_{k+1})\left(\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{1-\alpha_{k+1}}x_i+\alpha_{k+1}x_{k+1}\right)$　(1)$\displaystyle =f(1-\alpha_{k+1})\left(\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^k\alpha_j}x_i+\alpha_{k+1}x_{k+1}\right)$　(2)Correction. 답안의 (1), (2)는 함수 $\displaystyle f$의 입력을 묶는 괄호 위치가 잘못되었다. (1)은 $\displaystyle f\left((1-\alpha_{k+1})\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{\alpha_i}{1-\alpha_{k+1}}x_i\right)+\alpha_{k+1}x_{k+1}\right)$이고, (2)는 이 식의 분모 $\displaystyle 1-\alpha_{k+1}$를 $\displaystyle \sum_{j=1}^k\alpha_j$로 바꾼 식이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle (1)\Rightarrow(2):\ \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i=1$$\displaystyle \sum_{j=1}^k\frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^k\alpha_j}x_i\in I$이고, $\displaystyle n=2$일 때 (조건3)이 만족하므로Correction. 구간 $\displaystyle I$에 속함을 보이는 가중합에서 바깥 합의 하한 $\displaystyle j=1$은 $\displaystyle i=1$의 오기이다. 바깥 합에서는 $\displaystyle \alpha_i x_i$의 첨자 $\displaystyle i$가 변하고, 분모의 합에서는 $\displaystyle \alpha_j$의 첨자 $\displaystyle j$가 변한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (2)\le(1-\alpha_{k+1})f\left(\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^k\alpha_j}x_i\right)+\alpha_{k+1}f(x_{k+1})$　(3)$\displaystyle n=k$일 때, 만족한다고 가정하였으므로$\displaystyle (3)\le(1-\alpha_{k+1})\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^k\alpha_j}f(x_i)+\alpha_{k+1}f(x_{k+1})$$\displaystyle =\sum_{i=1}^k\alpha_if(x_i)+\alpha_{k+1}f(x_{k+1})$

[물음 3](물음1-1)과 (명제2)를 이용하면$\displaystyle -\ln\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=-\frac1n\ln(x_1x_2\cdots x_n)=\sum_{i=1}^n\frac{-\ln x_i}{n}\ge-\ln\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$ ……(1)$\displaystyle \Rightarrow\ln\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\le\ln\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$ ……(2)$\displaystyle \Rightarrow\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\le\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$ ……(3)

[물음 4]$\displaystyle \begin{aligned}-\sqrt[3]{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}&\ge-\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3}=\frac13(-\sin\alpha)+\frac13(-\sin\beta)+\frac13(-\sin\gamma)\\&\ge-\sin\left(\frac\alpha3+\frac\beta3+\frac{\gamma a}{3}\right)=-\sin\frac\pi3=-\frac{\sqrt3}{2}\end{aligned}$ ……(1)Correction. 물음 4의 예시답안에 나온 $\displaystyle \frac{\gamma a}{3}$은 $\displaystyle \frac{\gamma}{3}$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \Rightarrow\sqrt[3]{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\ge\frac{\sqrt3}{2}$ ……(2)$\displaystyle \Rightarrow\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\ge\frac38\sqrt3$ ……(3)Caution. 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꾸어야 한다: 물음 4의 식 (1)의 양변에 $\displaystyle -1$을 곱하면 $\displaystyle \sqrt[3]{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\le\frac{\sqrt3}{2}$이고, 이를 세제곱하면 $\displaystyle \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\le\frac{3\sqrt3}{8}$이다. 따라서 식 (2)와 (3)의 부등호 $\displaystyle \ge$는 $\displaystyle \le$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.