경북대 2016학년도 모의 자연계열 II 2번 해설

【제시문 1】

미분가능 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=x_1$ 에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(x_1)$ 는 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle (x,f(x))$ 를 지나는 접선의 기울기를 나타낸다.

【제시문 2】

미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프 위의 임의의 두 점 $\displaystyle (x_1,f(x_1)),\ (x_2,f(x_2))$ 를 연결한 직선이 구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$ 에서 곡선의 그래프 보다 위쪽에 있으면 아래로 볼록하다고 한다.

【제시문 3】

실수 전체의 집합 $\displaystyle \mathbb{R}$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(-x)$ 를 만족하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 우함수, $\displaystyle f(x)=-f(-x)$ 를 만족하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 기함수라고 한다.

【물음 1】실수 전체의 집합 $\displaystyle \mathbb{R}$ 에서 정의된 아래로 볼록한 미분가능 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음과 같은 조건을 만족한다고 한다.(조건 1) 양의 실수 $\displaystyle x>0$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{-x}^x(f(x+1)-f(t+1))dt=ax(f(x+1)-a)$ 를 만족한다. 단 $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle 1<a<2$ 를 만족하는 상수이다.(조건 2) 모든 $\displaystyle x<y$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}\left(\frac{x+y}{2}\right)$ 를 만족한다.(조건 3) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(2)=2a,\ f^{\prime}(1)=0$ 의 값을 가진다.(조건 1), (조건 2), (조건 3)을 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle g(x)=f(x+1)$ 라고 정의하자. 이때 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 우함수임을 보이시오. (10점)(2) 위 (1)을 이용하여 $\displaystyle (2-a)xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)$ 가 성립함을 보이시오. (20점)(3) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle \left(\frac32,f\left(\frac32\right)\right)$ 를 지나는 접선이 $\displaystyle x$ 축과 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 할 때 $\displaystyle \cos\theta$ 의 값을 구하시오. (20점)(4) 위의 (3)을 이용하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 위의 그래프 위의 세 점 $\displaystyle (1,a),\ \left(\frac32,f\left(\frac32\right)\right),\ (2,2a)$ 에 의하여 결정되는 삼각형의 면적을 구하시오. (20점)

【물음 2】아래로 볼록한 미분가능 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음과 같은 조건을 만족한다고 한다.(조건 1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 우함수이다.(조건 2) 임의의 구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프 위의 세 점 $\displaystyle A(x_1,f(x_1)),\ B\left(\frac{x_1+x_2}{2},f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right),\ C(x_2,f(x_2))$ 로 이루어진 $\displaystyle \triangle ABC$ 의 면적과 두 점 $\displaystyle A(x_1,f(x_1)),\ C(x_2,f(x_2))$ 를 지나는 직선의 아래쪽과 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프 위쪽으로 둘러싸인 부분의 면적의 비가 항상 $\displaystyle 1:a$ 라고 한다. 단, $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle 1<a<2$ 를 만족하는 구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$ 에 무관계한 상수이다.(조건 3) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=a$ 의 값을 가진다.1) $\displaystyle t>0$ 일 때, 다음 $\displaystyle \boxed{\phantom{0000}}$ 안을 채워 넣으시오. (15점) $\displaystyle \int_{-t}^t(f(t)-f(x))dx=\boxed{\phantom{0000}}f(t)$ (2) $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ 의 값을 $\displaystyle a$ 로 나타내시오. (15점)

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[물음 1](1) $\displaystyle x$ 를 임의의 양수 라고 하자. (조건 2)와 (조건3)을 이용하면 $\displaystyle \frac{g(x)-g(-x)}{2x}=\frac{f(x+1)-f(-x+1)}{2x}=f^{\prime}(1)=0$ 이므로 $\displaystyle g(x)=g(-x)$ 가 성립한다. 그러므로 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 우함수이다.

(2) (조건1)을 다시 고쳐 쓰면 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{-x}^x(f(x+1)-f(t+1))dt&=\int_{-x}^x(g(x)-g(t))dt\\&=2\int_0^x(g(x)-g(t))dt\\&=ax(g(x)-a).\end{aligned}$ 　……① $\displaystyle 2\int_0^x(g(x)-g(t))dt=ax(g(x)-a)$ 를 다시 고쳐 쓰면 $\displaystyle 2xg(x)-2\int_0^x g(t)dt=ax(g(x)-a)$ 이므로 양변을 $\displaystyle x$ 에 관하여 미분하면 $\displaystyle 2g(x)+2xg^{\prime}(x)-2g(x)=a(g(x)-a)+axg^{\prime}(x)$ ……②한편, $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x+1)$ 이므로 $\displaystyle 2xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)+axf^{\prime}(x+1)$ 이 식을 정리하여 간단히 하면 $\displaystyle (2-a)xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)$

(3) $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)$ 를 구하기 위하여 [물음1]의 (조건2)를 사용한다. 먼저 $\displaystyle x=0$ 을 $\displaystyle (2-a)xf^{\prime}(x+1)=a(f(x+1)-a)$ 에 대입하면 $\displaystyle f(1)=a$ 를 얻는다. $\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f^{\prime}\left(\frac32\right)$ 이므로 $\displaystyle f(2)=2a,\ f(1)=a$ 를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)=a$ .　……①(2)의 결과를 이용하면 $\displaystyle (2-a)\frac12f^{\prime}\left(\frac32\right)=a\left(f\left(\frac32\right)-a\right)$ 이므로 $\displaystyle f\left(\frac32\right)=1+\frac a2$ .　……②한편, $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac32\right)=a$ 이므로 $\displaystyle \tan\theta=a$ . $\displaystyle \therefore\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+a^2}}$

(4) 삼각형의 밑변을 $\displaystyle (1,a),\ (2,2a)$ 라고 하면 길이는 $\displaystyle \sqrt{1+a^2}$ , 높이는 $\displaystyle \left(\frac32,1+\frac a2\right)$ 로부터의 거리이다. 두 점 $\displaystyle (1,a),\ (2,2a)$ 을 연결하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=ax$ 이므로 직선 $\displaystyle x=\frac32$ 와 이 직선 $\displaystyle y=ax$ 의 교점은 $\displaystyle \left(\frac32,\frac{3a}{2}\right)$ 그러므로 점 $\displaystyle \left(\frac32,\frac{3a}{2}\right)$ 와 점 $\displaystyle \left(\frac32,1+\frac a2\right)$ 사이의 거리는 $\displaystyle a-1$ .따라서 삼각형의 높이는 $\displaystyle (a-1)\times\cos\theta=\frac{a-1}{\sqrt{1+a^2}}$ 그러므로, 구하는 삼각형의 면적은 $\displaystyle \frac12\times\sqrt{1+a^2}\times\frac{a-1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a-1}{2}$

[물음 2](1) $\displaystyle t>0$ 일 때 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 아래로 볼록하고 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f(t)>0$ . (조건1)과 (조건2)를 이용하면 $\displaystyle \int_{-t}^t(f(t)-f(x))dx=a\times\frac12\times2t\times f(t)=atf(t)$

(2) 위의 (1)과 (조건1)을 이용하면 $\displaystyle \int_{-t}^t(f(t)-f(x))dx=2\int_0^t(f(t)-f(x))dx=2tf(t)-2\int_0^t f(x)dx$ $\displaystyle =atf(t)$ $\displaystyle \therefore2\int_0^t f(x)dx=(2-a)tf(t)$ ……① $\displaystyle t=1$ 을 대입하면 $\displaystyle \int_0^1(f(t))dt=\frac a2(2-a)$

물음	채점기준
1 (1)	위의 과정이 맞으면 10점 아니면 0점 처리
1 (2)	① 과 ② 모두 얻어서 구하면 20점 (조건 1)식 그대로 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 처리하여도 관계없음 ① 식까지 얻으면 10점 ② 식 까지 얻으려고 하였으면 15점
1 (3)	① 까지 얻으면 10점 ② 까지 얻으면 15점 $\displaystyle \cos\theta$ 를 정확히 구하면 20점, 그 외의 경우 0점 처리
1 (4)	밑변의 길이 $\displaystyle \sqrt{1+a^2}$ 를 구하면 10점 삼각형의 높이 $\displaystyle \frac{a-1}{\sqrt{1+a^2}}$ 를 구하면 15점 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 사용하여 답을 구하면 20점
2 (1)	$\displaystyle 2at$ 라고 한 답이면 10점, 그 외의 경우 0점
Correction. 물음 2 (1)의 빈칸은 $\displaystyle at$ 이다. 예시답안의 계산은 $\displaystyle atf(t)$ 로 맞지만, 채점기준의 답 $\displaystyle 2at$ 는 $\displaystyle at$ 의 오기다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.
2 (2)	① 식을 얻으면 10점 $\displaystyle t=1$ 을 대입하여 답을 구하면 20점
Correction. 물음 2의 (1), (2)는 문제와 예시답안에서 각각 15점으로 제시되어 있다. 채점기준에 적힌 (1)의 정답 배점 10점과 (2)의 최종 정답 배점 20점은 각각 15점의 오기로 보인다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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자연계열 II 2번

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