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자연계열 II 2번

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경북대 2018학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2018mo/jayeon2_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고, 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 부정적분 중의 하나를 F(x)\displaystyle F(x)라 하면∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)이다.

(나) x\displaystyle x에 관한 다항식 P(x)\displaystyle P(x)에서 P(α)=0\displaystyle P(\alpha)=0이면 다항식 P(x)\displaystyle P(x)는 일차식 x−α\displaystyle x-\alpha로 나누어떨어진다. 또한, x\displaystyle x에 관한 다항식 P(x)\displaystyle P(x)가 일차식 x−α\displaystyle x-\alpha로 나누어떨어지면 P(α)=0\displaystyle P(\alpha)=0이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【2-1】세 다항함수 f(x),g(x),h(x)\displaystyle f(x),g(x),h(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

(a) h(x)\displaystyle h(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이고 두 실근 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 가진다. (단, β>α\displaystyle \beta>\alpha이다.)(b) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여,∣f(x)∣≥∣g(x)∣, ∣f(x)∣≥∣h(x)∣\displaystyle |f(x)|\ge|g(x)|,\ |f(x)|\ge|h(x)|이다.(c) ∣g(x)∣>0, ∣h(x)∣>0\displaystyle |g(x)|>0,\ |h(x)|>0인 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 세 변의 길이가 ∣f(x)∣,∣g(x)∣,∣h(x)∣\displaystyle |f(x)|,|g(x)|,|h(x)|인 삼각형은 직각삼각형이다.(d) lim⁡x→∞f(x)h(x)=2\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{h(x)}=\sqrt2이다.

(1) 다항함수 g(x)\displaystyle g(x)의 차수를 구하시오. (30점)(2) 방정식 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)가 중근을 가질 때, ∫αβg(x)dx\displaystyle \int_\alpha^\beta g(x)dx의 값을 구하시오. (70점)

해설강의 준비중

경북대 2018학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2018mo/jayeon2_2

+10점 · h(x)2+g(x)2=f(x)2\displaystyle h(x)^2+g(x)^2=f(x)^2의 관계식을 유도한다.

【2-1】(b)와 (c)로부터 세 다항함수 f(x),g(x),h(x)\displaystyle f(x),g(x),h(x)는 다음의 관계식을 만족한다.h(x)2+g(x)2={(x−α)(x−β)}2+g(x)2=f(x)2\displaystyle h(x)^2+g(x)^2=\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^2+g(x)^2=f(x)^2 ------- (1){(x−α)(x−β)}2=f(x)2−g(x)2——- (2)=(f(x)+g(x))(f(x)−g(x))\displaystyle \begin{aligned}\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^2&=f(x)^2-g(x)^2\quad\text{------- (2)}\\&=(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\end{aligned}

+10점 · 1+(lim⁡x→∞g(x)h(x))2=(lim⁡x→∞f(x)h(x))2=2\displaystyle 1+\left(\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{h(x)}\right)^2=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{h(x)}\right)^2=2

(d)와 (1)로부터1+(lim⁡x→∞g(x)h(x))2=(lim⁡x→∞f(x)h(x))2=2\displaystyle 1+\left(\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{h(x)}\right)^2=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{h(x)}\right)^2=2

+10점 · 따라서 g(x)\displaystyle g(x)의 차수는 h(x)\displaystyle h(x)의 차수와 같다.

이므로 다항함수 g(x)\displaystyle g(x)의 차수는 2이다.Caution. 다항식의 차수를 판단할 때는 계수가 0이 되어 항이 사라지는 경우에 주의해야 한다: g\displaystyle g가 영다항식이면 직각삼각형 조건을 적용할 x\displaystyle x가 하나도 없다. 이때 g\displaystyle g의 차수는 정의되지 않으므로, 주어진 조건만으로 g\displaystyle g가 이차라고 단정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+10점 · {(x−α)(x−β)}2=f(x)2−g(x)2=(f(x)+g(x))(f(x)−g(x))\displaystyle \{(x-\alpha)(x-\beta)\}^2=f(x)^2-g(x)^2=(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))의 관계식을 유도한다. 따라서 f(x)+g(x)=a(x−α)(x−β),f(x)−g(x)=b(x−α)(x−β)\displaystyle f(x)+g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta),\quad f(x)-g(x)=b(x-\alpha)(x-\beta) 혹은 f(x)+g(x)=a(x−α)2,f(x)−g(x)=b(x−β)2\displaystyle f(x)+g(x)=a(x-\alpha)^2,\quad f(x)-g(x)=b(x-\beta)^2 와 같이 될 수 있다. (단, ab=1\displaystyle ab=1)

【2-2】두 다항함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 이차함수이므로 (2)로부터f(x)+g(x)=a(x−α)(x−β),f(x)−g(x)=b(x−α)(x−β)\displaystyle f(x)+g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta),\quad f(x)-g(x)=b(x-\alpha)(x-\beta) ---- (3)혹은f(x)+g(x)=a(x−α)2,f(x)−g(x)=b(x−β)2\displaystyle f(x)+g(x)=a(x-\alpha)^2,\quad f(x)-g(x)=b(x-\beta)^2 ---- (4)이다. 단 ab=1\displaystyle ab=1. ---- (5)

+20점 · 방정식 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)가 중근을 가진다는 사실로부터 f(x)=a(x−α)2+b(x−β)22,g(x)=a(x−α)2−b(x−β)22\displaystyle f(x)=\frac{a(x-\alpha)^2+b(x-\beta)^2}2,\quad g(x)=\frac{a(x-\alpha)^2-b(x-\beta)^2}2

(3)의 경우 방정식 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)는 중근을 갖지 않으므로 조건에 위배된다.(4)의 경우,f(x)=a(x−α)2+b(x−β)22,g(x)=a(x−α)2−b(x−β)22\displaystyle f(x)=\frac{a(x-\alpha)^2+b(x-\beta)^2}2,\quad g(x)=\frac{a(x-\alpha)^2-b(x-\beta)^2}2이다.

+10점 · 조건 (d)로부터 f(x)=(2+1)(x−α)2+(2−1)(x−β)22\displaystyle f(x)=\frac{(\sqrt2+1)(x-\alpha)^2+(\sqrt2-1)(x-\beta)^2}2
+20점 · g(x)=(2+1)(x−α)2−(2−1)(x−β)22\displaystyle g(x)=\frac{(\sqrt2+1)(x-\alpha)^2-(\sqrt2-1)(x-\beta)^2}2이다.

조건 (d)와 (5)로부터f(x)=(2+1)(x−α)2+(2−1)(x−β)22,\displaystyle f(x)=\frac{(\sqrt2+1)(x-\alpha)^2+(\sqrt2-1)(x-\beta)^2}2,g(x)=(2+1)(x−α)2−(2−1)(x−β)22\displaystyle g(x)=\frac{(\sqrt2+1)(x-\alpha)^2-(\sqrt2-1)(x-\beta)^2}2이다.

+10점 · ∫αβg(x)dx=13(β−α)3\displaystyle \int_\alpha^\beta g(x)dx=\frac13(\beta-\alpha)^3이다.

따라서,∫αβg(x)dx=13(β−α)3\displaystyle \int_\alpha^\beta g(x)dx=\frac13(\beta-\alpha)^3이다.

Comment. 대학 풀이는 방정식 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)의 중근이 β\displaystyle \beta이고 g\displaystyle g의 최고차항의 계수가 양수인 경우를 택했다. 원문에서는 g\displaystyle g와 −g\displaystyle -g가 모두 조건을 만족하므로 정적분값은 (β−α)33\displaystyle \frac{(\beta-\alpha)^3}{3}과 −(β−α)33\displaystyle -\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}이 모두 가능하다. 중근의 위치만으로는 부호가 정해지지 않으며, g\displaystyle g의 최고차항의 계수가 양수라는 조건을 보태면 대학이 구한 양수 값으로 정해진다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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