자연계열 I 4번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 전체에서 미분 가능하므로,$\displaystyle \begin{cases}-\dfrac a2\cdot2^3+\dfrac32\cdot2^2=\dfrac12\cdot(2-b)^3+\dfrac32\cdot(2-b)^2\\-\dfrac{3a}2\cdot2^2+\dfrac62\cdot2=\dfrac32\cdot(2-b)^2+\dfrac62\cdot(2-b)\end{cases}$이 방정식을 풀면, $\displaystyle a=1,b=4$. 따라서, $\displaystyle a^2+b^2=17$

(2) 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 방정식 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)=-\frac{x^3}2+\frac32x^2-\frac32x^2+3x=0$을 풀면, $\displaystyle x=0,\pm\sqrt6$. 따라서, 해당되는 $\displaystyle x$의 값은 존재하지 않는다. 한편, 구간 $\displaystyle [2,4]$에서 방정식$\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)=\frac12(x-4)^3+\frac32(x-4)^2+\frac32(x-4)^2+3(x-4)=0$을 풀면, $\displaystyle x=1\pm\sqrt3,4$. 따라서, $\displaystyle c=1+\sqrt3$.

(3) $\displaystyle \begin{aligned}\int_1^3\left|\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)}+1\right|dt&=\int_1^3\left|\frac{f^{\prime}(t)+f(t)}{f(t)}\right|dt=\int_1^c\frac{f^{\prime}(t)+f(t)}{f(t)}dt-\int_c^3\frac{f^{\prime}(t)+f(t)}{f(t)}dt\\&=\Biggl[\ln(f(t))+t\Biggr]_1^c-\Biggl[\ln(f(t))+t\Biggr]_c^3\\&=2\{(\ln(f(c))+c\}-4\\&=2\{\ln(-9+6\sqrt3)-1+\sqrt3\}\end{aligned}$Correction. 왼쪽 중괄호 바로 뒤의 여는 소괄호는 짝이 없는 오기이다. 원시함수 $\displaystyle \ln(f(t))+t$에 적분의 양 끝을 대입하면 $\displaystyle 2\{\ln(f(c))+c\}-4$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle p+q=-3$.