수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 1번

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경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_1

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배점80점
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문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (1) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r (0<r≤n\displaystyle 0<r\le n)개를 택하는 순열의 수는nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)\displaystyle {}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)이다.(2) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r (0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 조합의 수는nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}이다. (단, nC0=1\displaystyle {}_n\mathrm{C}_0=1이다.)(3) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 중복조합의 수는nHr=n+r−1Cr\displaystyle {}_n\mathrm{H}_r={}_{n+r-1}\mathrm{C}_r이다.

(나) 한 번의 시행에서 사건 A\displaystyle A가 일어날 확률이 p\displaystyle p로 일정할 때, n\displaystyle n번의 독립시행에서 사건 A\displaystyle A가 일어나는 횟수를 X\displaystyle X라 하자.(1) 확률변수 X\displaystyle X가 갖는 값은 0,1,2,⋯ ,n\displaystyle 0,1,2,\cdots,n이고, X\displaystyle X의 확률질량함수는P(X=x)=nCxpx(1−p)n−x(x=0,1,2,⋯ ,n)\displaystyle \mathrm{P}(X=x)={}_n\mathrm{C}_xp^x(1-p)^{n-x}\quad(x=0,1,2,\cdots,n)이며, 확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따른다고 한다.(2) 확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따를 때E(X)=np, V(X)=npq, σ(X)=npq\displaystyle \mathrm{E}(X)=np,\ \mathrm{V}(X)=npq,\ \sigma(X)=\sqrt{npq} (단, q=1−p\displaystyle q=1-p)이다.

(다) 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포 N(0,1)\displaystyle \mathrm{N}(0,1)을 표준정규분포라고 한다. 확률변수 Z\displaystyle Z가 표준정규분포 N(0,1)\displaystyle \mathrm{N}(0,1)을 따른다고 할 때, 양수 z\displaystyle z에 대하여 확률 P(0≤Z≤z)\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le z)는 다음과 같은 표준정규분포표를 이용하여 구할 수 있다.

z\displaystyle zP(0≤Z≤z)\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le z)
1.00.3413
1.50.4332
2.00.4772
2.50.4938

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】 학생 A가 수영 강습을 받기 위해, 다음 조건m2−m1≥3,m3−m2≥3\displaystyle m_2-m_1\ge3,\quad m_3-m_2\ge3을 만족시키도록 2019년도의 열두 달 중 세 달 m1\displaystyle m_1월, m2\displaystyle m_2월, m3\displaystyle m_3월을 선택할 수 있는 모든 순서쌍 (m1,m2,m3)\displaystyle (m_1,m_2,m_3)의 개수를 구하시오. (30점)

【1-2】 여덟 개의 면 중 k\displaystyle k개의 면에는 빨간색이 각각 칠해져 있고, 나머지 면에는 파란색이 각각 칠해져 있는 정팔면체 모양의 물체가 있다. 이 물체를 n\displaystyle n번 던져서 지면에 닿은 면이 빨간색이 되는 횟수를 X\displaystyle X라 하자. 확률변수 X\displaystyle X가 다음의 조건을 만족시킬 때, k\displaystyle k와 n\displaystyle n의 값을 구하시오. (단, 각각의 면에는 한 가지 색만 칠해져 있다.) (30점)

(a) E(X)=4V(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)=4\mathrm{V}(X)(b) P(X=1)=30P(X=0)\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=30\mathrm{P}(X=0)

【1-3】 확률변수 X\displaystyle X가 정규분포 N(m,4(2m+1)2)\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac4{(2m+1)^2}\right)를 따른다고 한다. P(X≤4)=0.9772\displaystyle \mathrm{P}(X\le4)=0.9772일 때, 양수 m\displaystyle m의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_1

[1-1]주어진 조건은 x1+x2+x3+x4=9, x1≥0, x2≥2, x3≥2, x4≥0\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=9,\ x_1\ge0,\ x_2\ge2,\ x_3\ge2,\ x_4\ge0를 만족한다. 여기에서 x1\displaystyle x_1은 m1\displaystyle m_1월 이전에 달 수, x2\displaystyle x_2는 m1\displaystyle m_1월과 m2\displaystyle m_2월 사이의 달 수, x3\displaystyle x_3는 m2\displaystyle m_2월과 m3\displaystyle m_3월 사이의 달 수, 그리고 x4\displaystyle x_4는 m3\displaystyle m_3이후의 남은 달 수이다. 따라서 y2=x2−2≥0, y3=x3−2≥0\displaystyle y_2=x_2-2\ge0,\ y_3=x_3-2\ge0이라 하면x1+y2+y3+x4=5, x1≥0, y2≥0, y3≥0, x4≥0\displaystyle x_1+y_2+y_3+x_4=5,\ x_1\ge0,\ y_2\ge0,\ y_3\ge0,\ x_4\ge0을 만족하는 경우의 수는4H5=4+5−1C5=8C5=8×7×6×5×45×4×3×2×1=56\displaystyle {}_4\mathrm{H}_5={}_{4+5-1}\mathrm{C}_5={}_8\mathrm{C}_5=\frac{8\times7\times6\times5\times4}{5\times4\times3\times2\times1}=56이다.

[1-2]확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따르므로 E(X)=np\displaystyle \mathrm{E}(X)=np이고 V(X)=np(1−p)\displaystyle \mathrm{V}(X)=np(1-p)이다. 조건 (a)로부터 np=4np(1−p)\displaystyle np=4np(1-p)이므로 p=34=k8\displaystyle p=\frac34=\frac k8이고 조건 (b)로부터 P(X=1)=30P(X=0)\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=30\mathrm{P}(X=0)이므로 nC1p1(1−p)n−1=30nC0(1−p)n\displaystyle {}_n\mathrm{C}_1p^1(1-p)^{n-1}=30{}_n\mathrm{C}_0(1-p)^n으로부터 np=30(1−p)\displaystyle np=30(1-p)이다. 따라서 k=6\displaystyle k=6이고 n=10\displaystyle n=10이다.

[1-3]확률변수 X\displaystyle X가 정규분포 N(m,4(2m+1)2)\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac4{(2m+1)^2}\right)를 따르므로P(X≤4)=P(Z≤4−m22m+1)=P(Z≤12(2m+1)(4−m))\displaystyle \mathrm{P}(X\le4)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{4-m}{\frac2{2m+1}}\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac12(2m+1)(4-m)\right)이다.표준정규분포표로부터 P(Z≤2)=0.9772\displaystyle \mathrm{P}(Z\le2)=0.9772이므로 12(2m+1)(4−m)=2\displaystyle \frac12(2m+1)(4-m)=2이다. 따라서 m=72\displaystyle m=\frac72이다.

하위 문항채점 기준배점
1-11. x1+x2+x3+x4=9, x1,x4≥0, x2,x3≥2\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=9,\ x_1,x_4\ge0,\ x_2,x_3\ge2의 관계식을 구하면 10점<br>2. x1+y2+y3+x4=5, x1,y2,y3,x4≥0\displaystyle x_1+y_2+y_3+x_4=5,\ x_1,y_2,y_3,x_4\ge0의 관계식을 구하면 10점<br>3. 관계식과 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구하면 10점<br>중복조합을 이용하지 않고 직접 경우의 수를 구하면 30점30
1-21. 조건 (a)를 이용하여 p=34\displaystyle p=\frac34을 구하면 10점<br>2. p=34\displaystyle p=\frac34을 이용하여 k=6\displaystyle k=6을 구하면 10점<br>3. p=34\displaystyle p=\frac34과 조건 (b)를 이용하여 n=10\displaystyle n=10을 구하면 10점30
1-31. 표준화하여 확률 P(X≤4)=P(Z≤4−m22m+1)\displaystyle \mathrm{P}(X\le4)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{4-m}{\frac2{2m+1}}\right)을 구하면 10점<br>2. 관계식 12(2m+1)(4−m)=−m2+72m+2=2\displaystyle \frac12(2m+1)(4-m)=-m^2+\frac72m+2=2를 구하면 10점<br>2. m2−72m=m(m−72)=0\displaystyle m^2-\frac72m=m\left(m-\frac72\right)=0으로부터 양수 m=72\displaystyle m=\frac72를 구하면 10점30

Correction. 【1-3】의 배점은 20\displaystyle 20점이지만 채점기준에는 10\displaystyle 10점씩 세 항목과 합계 30\displaystyle 30점이 적혀 있다. 문항 배점과 채점기준의 배점이 일치하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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