자연계열 II 4번

【4-1】조건으로부터 쌍곡선의 초점의 좌표는 $\displaystyle (0,2),\ (0,-2)$이다. 즉, $\displaystyle c=2$이다. 그리고, 점근선 $\displaystyle y=\pm\frac1{\sqrt3}x$이 포물선에 접하므로 $\displaystyle y$에 대한 이차 방정식 $\displaystyle (\pm\sqrt3y)^2-ay+3=0$은 중근을 갖는다. 그러므로 $\displaystyle a=6$이다. 따라서, $\displaystyle a^2+c^2=40$이다.

【4-2】 (1)포물선 $\displaystyle C_2$의 초점은 $\displaystyle \mathrm F(0,2)$이고 준선의 방정식은 $\displaystyle y=-1$이므로 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}$의 길이는 점 P에서 직선 $\displaystyle y=-1$까지의 거리와 같다. 그런데, 점 $\displaystyle \mathrm F(0,2)$에서 $\displaystyle (0,-1)$까지의 거리는 3이므로,Correction. 문제에서 포물선은 $\displaystyle C_1$이고 $\displaystyle C_2$는 쌍곡선이다. 답안의 ‘포물선 $\displaystyle C_2$’는 ‘포물선 $\displaystyle C_1$’의 오기이다. 뒤의 초점과 준선 계산은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}-3=\pm\overline{\mathrm{FR}}$쌍곡선의 정의로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime} Q}}=2+\overline{\mathrm{FQ}}$이고 직각삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{FSQ}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{F^{\prime} SQ}$에 피타고라스 정리를 적용하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime} S}}-\frac12\times\overline{\mathrm{FQ}}=\frac52$이다. 따라서, $\displaystyle p\times q\times r\times s=\frac{15}4$이다.

【4-2】 (2)$\displaystyle \angle\mathrm{SQF^{\prime}}=\theta$이고 (1)의 두 번째 등식으로부터, $\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm{F^{\prime} S}}}{\overline{\mathrm{F^{\prime} Q}}}=\frac{\overline{\mathrm{FQ}}+5}{2\overline{\mathrm{FQ}}+4}$이므로,$\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}=-2+\frac3{2\sin\theta-1}$이다. 따라서, $\displaystyle \alpha=-2,\beta=-1$이다.

【4-2】 (3)(2)의 식으로부터 $\displaystyle \theta$가 최소가 될 때, 즉, 직선 F′P가 포물선에 접할 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}$가 최대가 된다. 접점의 좌표를 $\displaystyle \mathrm P\left(t_0,\frac{t_0^2+3}6\right)$이라 하면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\frac{t_0^2+3}6=\frac{t_0}3(x-t_0)$이다. 접선이 점 $\displaystyle \mathrm F^{\prime}(0,-2)$를 지나므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{15}}3x-2$이다. 접선과 쌍곡선의 교점 Q, Q′의 $\displaystyle y$좌표를 각각 구하면 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{10}}2,\ \frac{1-\sqrt{10}}2$이다. 점 Q′에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 S′이라 할 때,$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PQ\prime}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}=\frac{\overline{\mathrm{RS\prime}}}{\overline{\mathrm{RS}}}=\frac73+\frac23\sqrt{10}$이다. 따라서, $\displaystyle m=3,n=7$이다.