자연계열 I 3번

경북대 2020학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2020mo/jayeon1_3

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u),u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 또는 $\displaystyle y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

(나) (1) 두 초점 $\displaystyle \mathrm F(c,0),\ \mathrm F^{\prime}(-c,0)$ 으로부터의 거리의 차가 $\displaystyle 2a\ (c>a>0)$ 인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (단, $\displaystyle b^2=c^2-a^2$ )이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $\displaystyle 2a$ 이다.(2) 두 초점 $\displaystyle \mathrm F(0,c),\ \mathrm F^{\prime}(0,-c)$ 으로부터의 거리의 차가 $\displaystyle 2b\ (c>b>0)$ 인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ (단, $\displaystyle a^2=c^2-b^2$ )이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $\displaystyle 2b$ 이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

실수 $\displaystyle a,b,c\ (a\ne0)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ 이고 $\displaystyle H:y^2=e^{-f(x)}\frac{d^2}{dx^2}e^{f(x)}$ 은 쌍곡선이다. 다음 물음에 답하시오.

【3-1】 쌍곡선 $\displaystyle H$ 를 $\displaystyle Ax^2+By^2+Cx+D=0$ 으로 표현할 때, $\displaystyle \frac AB=-4a^2$ 임을 증명하시오. (20점)

【3-2】 다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (30점)

<조건>(1) 쌍곡선 $\displaystyle H$ 는 직선 $\displaystyle x=1$ 과 많아야 한 점에서 만난다.(2) 쌍곡선 $\displaystyle H$ 는 직선 $\displaystyle y=x+\frac b{2a}$ 와 만나지 않는다.(3) 쌍곡선 $\displaystyle H$ 의 주축의 길이는 4이하이다.

【3-3】 쌍곡선 $\displaystyle H$ 의 두 초점이 $\displaystyle x$ 축 위에 있을 때, 두 초점을 각각 $\displaystyle \mathrm F(\alpha,0),\ \mathrm F^{\prime}(\beta,0)\ (\alpha>\beta)$ 라 하자.

(1) 쌍곡선 $\displaystyle H$ 위의 점 Q에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 S라 하자. 점 Q의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle \alpha$ 보다 클 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}-\overline{\mathrm{FS}}\sqrt{1+4a^2}=|2a|^p$ 이다. $\displaystyle p$ 의 값을 구하시오. (40점)

(2) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2$ 의 값이 최소가 될 때, $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

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+15점 ·

\displaystyle e^{-f(x)}\frac{d^2}{dx^2}e^{f(x)}=(2ax+b)^2+2a

를 구한다.

【3-1】 (20점)○ 모범답안: $\displaystyle e^{-f(x)}\frac{d^2}{dx^2}e^{f(x)}=(2ax+b)^2+2a$ 이므로 $\displaystyle y^2=(2ax+b)^2+2a$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle 4a^2x^2-y^2+4abx+b^2+2a=0

으로부터

\displaystyle A=4a^2,B=-1

임을 안다.

그래서 $\displaystyle y^2=(2ax+b)^2+2a$ 를 $\displaystyle Ax^2+By^2+Cx+D=0$ 으로 표현하면 $\displaystyle 4a^2x^2-y^2+4abx+b^2+2a=0$ 이다. $\displaystyle A=4a^2,B=-1$ 이므로 $\displaystyle \frac AB=-4a^2$ 이다

+5점 · 쌍곡선

\displaystyle H

의 직선

\displaystyle x=1

과 만나지 않기 위해

\displaystyle a<0

임을 안다.

【3-2】 (30점)○ 모범답안:우선 쌍곡선 $\displaystyle H$ 의 방정식은 $\displaystyle \frac{(x+\frac b{2a})^2}{-\frac1{2a}}-\frac{y^2}{-2a}=1$ 이고 직선 $\displaystyle x=1$ 과 만나지 않기 위해 $\displaystyle a<0$ 이다.

+10점 · 쌍곡선

\displaystyle H

가 직선

\displaystyle x=1

과 만나지 않기 위해

\displaystyle -2a-\sqrt{-2a}<b<-2a+\sqrt{-2a}

임을 안다.

Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 직선 $\displaystyle x=1$ 과 많아야 한 점에서 만나려면 $\displaystyle (2a+b)^2+2a\le0$ 이어야 한다. 등호일 때는 $\displaystyle y=0$ 인 한 점에서 만나므로 이 경우도 허용된다. 따라서 $\displaystyle b$ 의 양 끝값도 포함해야 한다. 경계의 포함 여부는 구하는 영역의 넓이 $\displaystyle \frac7{12}$ 에는 영향을 주지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

쌍곡선 $\displaystyle H$ 의 두 꼭짓점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle -\frac b{2a}\pm\sqrt{-\frac1{2a}}$ 이므로 직선 $\displaystyle x=1$ 과 $\displaystyle \frac{(x+\frac b{2a})^2}{-\frac1{2a}}-\frac{y^2}{-2a}=1$ 이 만나지 않기 위해서 $\displaystyle -\frac b{2a}-\sqrt{-\frac1{2a}}<1<-\frac b{2a}+\sqrt{-\frac1{2a}}$ 이고 이를 정리하면 $\displaystyle -2a-\sqrt{-2a}<b<-2a+\sqrt{-2a}$ 이다.

+5점 · 직선

\displaystyle y=x+\frac b{2a}

와 쌍곡선

\displaystyle H

가 만나기 않기 위해

\displaystyle -1/2\le a<0

임을 안다.

점근선이 $\displaystyle y=\pm2a\left(x+\frac b{2a}\right)$ 이므로 직선 $\displaystyle y=x+\frac b{2a}$ 와 쌍곡선이 만나기 않기 위해 $\displaystyle -1/2\le a<0$ 이어야 한다.

+5점 · 조건 (3)으로부터

\displaystyle a\le-1/8

임을 안다.

주축의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt{\frac1{2a}}$ 이므로 4이하이기 위해서는 $\displaystyle a\le-1/8$ 이다.

+5점 · 영역의 넓이

\displaystyle 7/12

를 구한다.

따라서 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \int_{-\frac12}^{-\frac18}(\sqrt{-2a}-2a)da-\int_{-\frac12}^{-\frac18}(-\sqrt{-2a}-2a)da=\frac7{12}$ 이다.

+10점 · (1)

\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}^2-\overline{\mathrm{F^{\prime}S}}^2=\overline{\mathrm{FQ}}^2-\overline{\mathrm{FS}}^2

를 구한다.

【3-3】 (40점)○ 모범답안:(1) 두 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{F^{\prime}SQ}$ 와 $\displaystyle \triangle\mathrm{FSQ}$ 에서 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}^2-\overline{\mathrm{F^{\prime}S}}^2=\overline{\mathrm{FQ}}^2-\overline{\mathrm{FS}}^2\quad---\ (*)$ 이다.

+10점 · (1) 쌍곡선의 정의

\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}=\overline{\mathrm{FQ}}+2\sqrt{-\frac1{2a}}

을 이용한다.

쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}=\overline{\mathrm{FQ}}+2\sqrt{-\frac1{2a}}$ 이고

+10점 · (1) 쌍곡선의 초점의 성질

\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}S}}=\overline{\mathrm{FS}}+2\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}}

을 이용한다.

쌍곡선의 초점의 성질로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}S}}-\overline{\mathrm{FS}}=2\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}}\Leftrightarrow\overline{\mathrm{F^{\prime}S}}=\overline{\mathrm{FS}}+2\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}}$ 을 (*)식에 대입하면

+10점 · (1)

\displaystyle p=\frac32

를 구한다.

$\displaystyle -\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}}\,\overline{\mathrm{FS}}+\sqrt{-\frac1{2a}}\,\overline{\mathrm{FQ}}=-2a$ 이므로 $\displaystyle -\sqrt{1+4a^2}\,\overline{\mathrm{FS}}+\overline{\mathrm{FQ}}=(-2a)^{\frac32}$ 이다. 따라서 $\displaystyle p=\frac32$ 이다.

+5점 · (2) 두 초점 좌표를 구한다.

(2) $\displaystyle \alpha=-\frac b{2a}+\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}},\ \beta=-\frac b{2a}-\sqrt{\frac{-1-4a^2}{2a}}$ 이므로

+5점 · (2)

\displaystyle (\alpha-\beta)^2=-8a-\frac2a

를 구한다.

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=-8a-\frac2a$ 이고

+10점 · (2) 산술기하평균을 쓴다.

산술기하평균에 의해 $\displaystyle (\alpha-\beta)^2\ge2\sqrt{(-8a)\left(-\frac2a\right)}=2\sqrt{16}=8$ 이 된다.

+10점 · (2)

\displaystyle a=-\frac12

를 구한다.

따라서 $\displaystyle a=-\frac12$ 일 때 $\displaystyle (\alpha-\beta)^2$ 가 최솟값을 갖는다.

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