자연계열 II 1번

따라서 $\displaystyle \sum_{k=0}^9g(k)=2660$이다.[별해]정적분의 구간을 나누어 부분적분법을 이용하여 계산이 가능하나 이 경우 계산이 매우 복잡해진다.

【1-3】 (30점)○ 모범답안: 정적분 $\displaystyle \int_{k^2}^{(k+1)^2}2xf(x)\,dx$에서 $\displaystyle s=x-k^2$이라 하자. 그러면 치환적분에 의해서 그 정적분은 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^{2k+1}2(s+k^2)f(s+k^2)\,ds$

한편, 문제 (1-1)에 의하여 위의 식에서 $\displaystyle f(s+k^2)=f(s)$ ($\displaystyle \because k^2$은 정수) 이다. 이를 이용하여 위의 정적분을 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^{2k+1}2sf(s)\,ds+\int_0^{2k+1}2k^2f(s)\,ds$한편, $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=2$이고 $\displaystyle f(x)$는 주기가 1이므로, $\displaystyle \int_0^{2k+1}f(s)\,ds=4k+2$임을 알 수 있고,또한 문제 (1-2)에서 얻은 결과를 이용하면 $\displaystyle \int_0^{2k+1}2sf(s)\,ds=2(2k+1)^2$임을 알 수 있다.구하고자 하는 정적분의 값은 $\displaystyle 2(2k+1)^2+2k^2(4k+2)=2+8k+12k^2+8k^3$이다.

따라서 $\displaystyle a=2,b=8,c=12,d=8$이다.

【1-4】 (40점)○ 모범답안: 정적분의 성질에 의해 $\displaystyle \int_0^{n^2}2xf(x)\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k^2}^{(k+1)^2}2xf(x)\,dx$가 됨을 알 수 있다.

한편, 문제 (1-3)에서 얻은 결과를 이용하면 다음의 방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \int_0^{n^2}2xf(x)\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}(8k^3+12k^2+8k+2)$

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\int_0^{n^2}2xf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}(8k^3+12k^2+8k+2)$$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}8k^3+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}12k^2+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}8k+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}2$(수렴하는 극한의 성질을 이용)$\displaystyle =\int_0^18x^3\,dx+\lim_{n\to\infty}\frac{2(n-1)n(2n-1)}{n^4}+\lim_{n\to\infty}\frac{4(n-1)n}{n^4}+\lim_{n\to\infty}\frac{2(n-1)}{n^4}$Caution. 개수를 셀 때에는 양 끝의 포함 여부를 확인하여 1을 더하거나 빼야 하는지 판단해야 한다: 【1-4】에서 $\displaystyle k=0$부터 $\displaystyle n-1$까지는 양 끝을 포함하여 $\displaystyle n$개의 항이 있다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}2=2n$이고, 마지막 항의 분자는 $\displaystyle 2(n-1)$이 아니라 $\displaystyle 2n$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(정적분의 정의를 이용)$\displaystyle =2$이다.