경북대 2021학년도 모의 자연계열 II 1번 해설

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때,(1) $\displaystyle \int_a^bkf(x)\,dx=k\int_a^bf(x)\,dx$ (단, $\displaystyle k$ 는 상수)(2) $\displaystyle \int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx$ (3) $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx$ (4) 실수 $\displaystyle c$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에 포함될 때, $\displaystyle \int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx$ 이다.

(나) 정적분과 급수의 합 사이의 관계함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x=\int_a^bf(x)\,dx$ $\displaystyle \left(\text{단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\ x_k=a+k\Delta x\right)$

(다) $\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx$ 꼴의 부정적분 $\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$ (단, $\displaystyle C$ 는 적분상수)

(라) 수열의 극한의 대소 관계두 수열 $\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$ 이 각각 수렴하고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ 일 때,(1) 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\le b_n$ 이면 $\displaystyle \alpha\le\beta$ 이다.(2) 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\le c_n\le b_n$ 이고 $\displaystyle \alpha=\beta$ 이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ 이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

두 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}x,\ g(x)=\frac{\cos x}x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 를 만족시키는 모든 양의 실수 $\displaystyle x$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ 이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

【1-1】 $\displaystyle a_{10}-a_2$ 의 값을 구하시오. (20점)

【1-2】 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}$ 의 값을 구하시오. (40점)

【1-3】 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle A_n=\left|\int_{a_n}^{a_{n+1}}\{f(x)-g(x)\}\,dx\right|$ 라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^nA_k$ 의 값을 구하시오. (50점)

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【1-1】 (20점)○ 예시 답안: $\displaystyle f(x)=g(x)\Rightarrow\sin x=\cos x$ 이므로 $\displaystyle \tan x=1$ 이다.이때 $\displaystyle x=\frac\pi4,\frac54\pi,\frac94\pi,\cdots$ 이다. 즉 공차를 $\displaystyle \pi$ 로 갖고 첫째항이 $\displaystyle \frac\pi4$ 인 등차수열 $\displaystyle a_n=\frac\pi4+(n-1)\pi$ (단, $\displaystyle n$ 은 자연수이다)에서 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프는 서로 만난다. 따라서 $\displaystyle a_n=\frac\pi4+(n-1)\pi$ 이고 $\displaystyle a_{10}-a_2=8\pi$ 이다.

【1-2】 (40점)○ 예시 답안: $\displaystyle a_n=\frac\pi4+(n-1)\pi$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{a_k}=\frac1{a_1}+\frac1\pi\sum_{k=2}^n\frac1{k-\frac34}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac4\pi+\frac1\pi\int_2^{n+1}\frac1{x-\frac34}\,dx\le\frac1{a_1}+\sum_{k=2}^n\frac1{a_k}=\frac1{a_1}+\frac1\pi\sum_{k=2}^n\frac1{k-\frac34}\le\frac1{a_1}+\frac1\pi\int_1^n\frac1{x-\frac34}\,dx$ 인 것을 알 수 있다. 로그함수의 적분법에 의해 $\displaystyle \frac1{a_1}+\frac1\pi\int_1^n\frac1{x-\frac34}\,dx=\frac1\pi\left(\ln\left(n-\frac34\right)-\ln\frac14+4\right),$ $\displaystyle \frac4\pi+\frac1\pi\int_2^{n+1}\frac1{x-\frac34}\,dx=\frac1\pi\left(\ln\left(n+\frac14\right)-\ln\frac54+4\right)$ 임을 알 수 있다. 즉 $\displaystyle \frac1\pi\left(\ln\left(n+\frac14\right)-\ln\frac54+4\right)\le\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}\le\frac1\pi\left(\ln\left(n-\frac34\right)-\ln\frac14+4\right)$ 이고 $\displaystyle \frac1\pi\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\left(\ln\left(n+\frac14\right)-\ln\frac14+4\right)=\frac1\pi$ 이므로 답은 $\displaystyle \frac1\pi$ 이다.

【1-3】 (50점)○ 예시 답안: $\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{\sin x-\cos x}{a_{n+1}}\,dx\le\int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{\sin x-\cos x}x\,dx\le\int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{\sin x-\cos x}{a_n}\,dx$ 이고 $\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}}(\sin x-\cos x)\,dx=2\sqrt2$ 이므로 $\displaystyle 2\sqrt2\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac1{a_{k+1}}\le\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^nA_k\le2\sqrt2\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}$ 이다. 【1-2】에 의해 답은 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}\pi$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
1-1	$\displaystyle x=\frac\pi4,\frac54\pi,\frac94\pi,\cdots$ 을 구한다.	10
	$\displaystyle a_n=\frac\pi4+(n-1)\pi$ (단, $\displaystyle n$ 은 자연수)를 구하고 $\displaystyle a_{10}-a_2=8\pi$ 임을 구한다.	10
1-2	$\displaystyle \frac4\pi+\frac1\pi\int_2^{n+1}\frac1{x-\frac34}\,dx\le\frac1{a_1}+\sum_{k=2}^n\frac1{a_k}=\frac1{a_1}+\frac1\pi\sum_{k=2}^n\frac1{k-\frac34}\le\frac1{a_1}+\frac1\pi\int_1^n\frac1{x-\frac34}\,dx$ <br>임을 구한다.	15
	$\displaystyle \frac1\pi\left(\ln\left(n+\frac14\right)-\ln\frac54+4\right)=\frac4\pi+\frac1\pi\int_2^{n+1}\frac1{x-\frac34}\,dx$ 이고<br> $\displaystyle \frac1{a_1}+\frac1\pi\int_1^n\frac1{x-\frac34}\,dx=\frac1\pi\left(\ln\left(n-\frac34\right)-\ln\frac14+4\right)$ 을 구한다.	15
	$\displaystyle \frac1\pi\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\left(\ln\left(n+\frac14\right)-\ln\frac14+4\right)=\frac1\pi$ 을 구한다.	10
1-3	$\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{\sin x-\cos x}{a_{n+1}}\,dx\le\int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac1x(\sin x-\cos x)\,dx\le\int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{\sin x-\cos x}{a_n}\,dx$ 임을 안다.	20
	$\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}}(\sin x-\cos x)\,dx=2\sqrt2$ 임을 구한다.	10
	$\displaystyle 2\sqrt2\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac1{a_{k+1}}\le\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^nA_k\le2\sqrt2\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}$ 을 알고 구하려는 값 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}\pi$ 을 구한다.	20

Caution. 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꾸어야 한다: 발문의 $\displaystyle A_n$ 에는 이미 정적분의 절댓값이 있다. $\displaystyle \sin x-\cos x$ 는 짝수 $\displaystyle n$ 의 구간에서 음수이므로, 이를 부등식에 곱할 때는 부등호의 방향이 바뀐다. 각 구간에서 부호가 일정하다는 점을 이용하여 $\displaystyle A_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\frac{|\sin x-\cos x|}{x}\,dx$ 로 다루면 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}{a_{n+1}}\le A_n\le\frac{2\sqrt2}{a_n}$ 을 얻고, 원문의 최종 극한값은 유지된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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자연계열 II 1번

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