자연계열 II 3번

【3-1】 (10점)○ 예시 답안:$\displaystyle x=0,t=0$을 바로 대입하면 $\displaystyle f(0)=f(0)^{g(0)}$가 되어서 $\displaystyle g(0)=1$이다.

【3-2】 (40점)○ 예시 답안: $\displaystyle f(x+t)=f(x)^{g(t)}$에 로그를 취하면 $\displaystyle \ln f(x+t)=g(t)\ln f(x)$이다. $\displaystyle h(t)=\ln f(t)$라 놓으면 $\displaystyle h(x+t)=g(t)h(x)$이다.$\displaystyle h(x+0)=h(0)g(x)$이므로 즉, $\displaystyle h(x+t)=\frac1{h(0)}h(t)h(x)$이다.

임의의 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle h(ne)=\frac1{h(0)}h(e)h((n-1)e)=\cdots=\{h(0)\}^{1-n}\{h(e)\}^n$

이므로 $\displaystyle \ln f(ne)=\{\ln f(0)\}^{1-n}\{2\ln f(0)\}^n=2^n\ln f(0)$

이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\ln f(ne)=2(2^{10}-1)\ln f(0)$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=2(2^{10}-1)=2046$이다

【3-3】 (70점)(1) (30점)○ 예시 답안: 임의의 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle h(n)=\frac1{h(0)}h(1)h(n-1)=\cdots=h(0)^{1-n}h(1)^n\quad----(*)$이다.

(*)를 이용하면 임의의 정수 $\displaystyle n$에 대해$\displaystyle h(1)=h\left(n\times\frac1n\right)=\frac1{h(0)}h\left(\frac1n\right)h\left(\frac{n-1}n\right)=\cdots=\{h(0)\}^{1-n}\left\{h\left(\frac1n\right)\right\}^n$$\displaystyle \Rightarrow h\left(\frac1n\right)=\{h(0)\}^{1-\frac1n}\{h(1)\}^{\frac1n}$이므로

임의의 두 정수 $\displaystyle m,n$에 대해$\displaystyle h\left(\frac nm\right)=h(0)^{1-n}h\left(\frac1m\right)^n=h(0)^{1-\frac nm}h(1)^{\frac nm}\quad----(**)$이다.

또한 $\displaystyle f$와 $\displaystyle \ln x$가 $\displaystyle x>0$에서 연속이므로 $\displaystyle h(x)=\ln f(x)$도 $\displaystyle x>0$에서 연속이다. 그래서 $\displaystyle h(e)=\lim_{n\to\infty}h\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)=\lim_{n\to\infty}h(0)^{1-(1+\frac1n)^n}h(1)^{(1+\frac1n)^n}=h(0)^{1-e}h(1)^e$이다.

$\displaystyle \ln f(e)=2\ln f(0)$이므로 $\displaystyle f(0)=e^2$이고 그래서 $\displaystyle 4=h(e)=2^{1-e}h(1)^e$이므로 $\displaystyle \ln f(1)=h(1)=2^{1+\frac1e}$이다.

(2) (40점)○ 예시 답안: (**)를 이용하면$\displaystyle h(e)=h\left(n\times\frac en\right)=\frac1{h(0)}h\left((n-1)\times\frac en\right)h\left(\frac en\right)=\cdots=h(0)^{1-n}h\left(\frac en\right)$이므로Correction. 3-3 (2)의 반복식 마지막에 있는 $\displaystyle h(e/n)$은 지수 $\displaystyle n$이 빠진 오기이다. 올바른 식은 다음과 같다.$\displaystyle h(e)=h(0)^{1-n}\left\{h\left(\frac en\right)\right\}^{n}$바로 다음 줄의 계산은 이 식과 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{h\left(e+\frac en\right)-h(e)}{\frac1n}=h(e)\lim_{n\to\infty}\frac{h\left(\frac en\right)\frac1{h(0)}-1}{\frac1n}=h(e)\lim_{n\to\infty}\frac{h(0)^{-\frac1n}h(e)^{\frac1n}-1}{\frac1n}$이다.$\displaystyle h(0)=2,h(e)=4$에서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{h\left(e+\frac en\right)-h(e)}{\frac1n}=4\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac1n}-1}{\frac1n}$이고

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac1n}-1}{\frac1n}$을 계산하기 위하여 $\displaystyle t_n=\frac1{2^{\frac1n}-1}$라 하자. 그러면 $\displaystyle \frac1n=\log_2\left(1+\frac1{t_n}\right)$이다.

그래서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac1n}-1}{\frac1n}=\lim_{t_n\to\infty}\frac1{\log_2(1+\frac1{t_n})^{t_n}}=\frac1{\log_2e}=\ln2$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln f\left(e+\frac en\right)-\ln f(e)}{\frac1n}=h(e)\ln2=4\ln2$이다.