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자연계열 II 2번

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경북대 2021학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon2_2

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배점120점
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문제

[ 제시문 ]

(가)tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

(나) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고, f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx이다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 그 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(a) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 증가한다.(b) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 감소한다.

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)\displaystyle f(a)\ne f(b)이면 f(a)\displaystyle f(a)와 f(b)\displaystyle f(b) 사이의 임의의 값 k\displaystyle k에 대하여f(c)=k\displaystyle f(c)=k인 c\displaystyle c가 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

(마) 수렴하는 두 수열 {an},{bn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}에 대하여lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\quad (α\displaystyle \alpha는 실수)일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

[ 문항 ]

곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x와 직선 y=tx\displaystyle y=tx가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 t\displaystyle t의 값의 범위는 0<t<β\displaystyle 0<t<\beta이다. 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x와 직선 y=tx\displaystyle y=tx가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 만나는 두 점을 각각 P1,P2\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm P_2라 하고 두 점 P1,P2\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm P_2의 x\displaystyle x좌표를 각각 a1,a2\displaystyle a_1,a_2라 하자. (단, a1<a2\displaystyle a_1<a_2) 이때 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 위의 두 점 P1,P2\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm P_2에서의 두 접선이 만나는 점을 R라 하자.0<t<β\displaystyle 0<t<\beta일 때, 다음 물음에 답하시오.

【2-1】 β\displaystyle \beta의 값을 구하시오. (15점)

【2-2】 선분 RP1\displaystyle \mathrm{RP_1}, 선분 RP2\displaystyle \mathrm{RP_2} 및 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x로 둘러싸인 부분의 넓이를 St\displaystyle S_t라 하고 ∠P1RP2\displaystyle \angle\mathrm{P_1RP_2}를 θt\displaystyle \theta_t라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) ∣tan⁡θt∣\displaystyle |\tan\theta_t|를 a1\displaystyle a_1과 a2\displaystyle a_2로 나타내면 a2−a1k+ℓa1a2\displaystyle \frac{a_2-a_1}{k+\ell a_1a_2}이다. k+ℓ\displaystyle k+\ell의 값을 구하시오. (단, k,ℓ\displaystyle k,\ell은 실수) (20점)

(2) St\displaystyle S_t를 a1,a2,t\displaystyle a_1,a_2,t로 나타내면 12(a2−a1)(m+nt2a1a2)\displaystyle \frac12(a_2-a_1)(m+nt^2a_1a_2)이다. m×n\displaystyle m\times n의 값을 구하시오. (단, m,n\displaystyle m,n은 실수) (25점)

【2-3】 (1) t−1<a2<t−53\displaystyle t^{-1}<a_2<t^{-\frac53}임을 증명하시오. (단, e=2.718⋯\displaystyle e=2.718\cdots) (35점)

(2) 점 R의 x\displaystyle x좌표 xt\displaystyle x_t와 【2-2】에서 구한 St,θt\displaystyle S_t,\theta_t에 대하여lim⁡t→0+xt∣tan⁡θt∣tSt\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{x_t|\tan\theta_t|}{tS_t}의 값을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

경북대 2021학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon2_2

【2-1】 직선 y=tx\displaystyle y=tx와 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x가 접한다고 하자. 접점을 (α,tα)=(α,ln⁡α)\displaystyle (\alpha,t\alpha)=(\alpha,\ln\alpha)라 하면 접선의 기울기는 1α=t\displaystyle \frac1\alpha=t이다. 따라서 ln⁡α=1\displaystyle \ln\alpha=1이므로 α=e\displaystyle \alpha=e이다. 즉 직선 y=tx\displaystyle y=tx와 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x가 두 점에서 만날 t\displaystyle t의 범위는 0<t<1e\displaystyle 0<t<\frac1e이고 β\displaystyle \beta는 1e\displaystyle \frac1e이다.

【2-2】 (1) 직선 y=tx\displaystyle y=tx와 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x가 만나는 두 점은 각각 (a1,ta1)=(a1,ln⁡a1), (a2,ta2)=(a2,ln⁡a2)\displaystyle (a_1,ta_1)=(a_1,\ln a_1),\ (a_2,ta_2)=(a_2,\ln a_2)이다. P1\displaystyle \mathrm P_1에서 접하는 접선의 방정식은 y=1a1x+ta1−1\displaystyle y=\frac1{a_1}x+ta_1-1이고 P2\displaystyle \mathrm P_2에서 접하는 접선의 방정식은 y=1a2x+ta1−1\displaystyle y=\frac1{a_2}x+ta_1-1이기 때문에 두 접선이 만나는 점 R의 좌표는 (ta1a2,t(a1+a2)−1)\displaystyle (ta_1a_2,t(a_1+a_2)-1)이다.점 Q1(ta1a2,ta1)\displaystyle \mathrm Q_1(ta_1a_2,ta_1)과 점 Q2(a2,t(a1+a2)−1)\displaystyle \mathrm Q_2(a_2,t(a_1+a_2)-1)에 대하여 θ1=∠P1RQ1, θ2=∠P2RQ2\displaystyle \theta_1=\angle\mathrm{P_1RQ_1},\ \theta_2=\angle\mathrm{P_2RQ_2}라 두면 tan⁡θt=tan⁡(θ1+θ2+π2)\displaystyle \tan\theta_t=\tan\left(\theta_1+\theta_2+\frac\pi2\right)이다. 그러면 tan⁡θ1=a1\displaystyle \tan\theta_1=a_1이고 tan⁡θ2=1a2\displaystyle \tan\theta_2=\frac1{a_2}이다. 따라서∣tan⁡θt∣=∣tan⁡θ1tan⁡θ2−1tan⁡θ1+tan⁡θ2∣=a2−a11+a1a2\displaystyle |\tan\theta_t|=\left|\frac{\tan\theta_1\tan\theta_2-1}{\tan\theta_1+\tan\theta_2}\right|=\frac{a_2-a_1}{1+a_1a_2}이므로 k=1, ℓ=1\displaystyle k=1,\ \ell=1이고 k+ℓ=2\displaystyle k+\ell=2이다.

(2) 두 접선이 만나는 점 R의 좌표는 (ta1a2,t(a1+a2)−1)\displaystyle (ta_1a_2,t(a_1+a_2)-1)이므로St=∫a1ta1a2(1a1x+ta1−1)dx+∫ta1a2a2(1a2x+ta2−1)dx−∫a1a2ln⁡x dx=12(a2−a1)(1−t2a1a2)\displaystyle S_t=\int_{a_1}^{ta_1a_2}\left(\frac1{a_1}x+ta_1-1\right)dx+\int_{ta_1a_2}^{a_2}\left(\frac1{a_2}x+ta_2-1\right)dx-\int_{a_1}^{a_2}\ln x\,dx=\frac12(a_2-a_1)(1-t^2a_1a_2)이다. 따라서 m=1, n=−1\displaystyle m=1,\ n=-1이므로 m×n=−1\displaystyle m\times n=-1이다.

【2-3】(1) 함수 f(x)=ln⁡x−tx\displaystyle f(x)=\ln x-tx을 미분하면 f′(x)=1x−t\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1x-t이기 때문에 f\displaystyle f는 x=1t\displaystyle x=\frac1t에서 최댓값을 갖고 이때 함숫값은 f(t−1)=−ln⁡t−1>0\displaystyle f(t^{-1})=-\ln t-1>0이다. t−1<t−53\displaystyle t^{-1}<t^{-\frac53}이고 f(t−53)=−t−23(53t23ln⁡t+1)\displaystyle f(t^{-\frac53})=-t^{-\frac23}\left(\frac53t^{\frac23}\ln t+1\right)이다. g(s)=53s23ln⁡s+1\displaystyle g(s)=\frac53s^{\frac23}\ln s+1라 두면 g′(s)=53s−13(23ln⁡s+1)\displaystyle g^{\prime}(s)=\frac53s^{-\frac13}\left(\frac23\ln s+1\right)이기 때문에 s=e−32\displaystyle s=e^{-\frac32}에서 최솟값을 갖는다. g(e−32)=−52e+1>0\displaystyle g\left(e^{-\frac32}\right)=-\frac5{2e}+1>0이기 때문에 모든 s>0\displaystyle s>0에 대하여 g(s)>0\displaystyle g(s)>0이다. 즉 t−1<a2<t−53\displaystyle t^{-1}<a_2<t^{-\frac53}이다.

(2) 함수 f(x)=ln⁡x−tx\displaystyle f(x)=\ln x-tx는 a1\displaystyle a_1과 a2\displaystyle a_2에서 근을 갖고 1<a1<e\displaystyle 1<a_1<e이다. 【2-2】의 (1), (2)에 의해 xt∣tan⁡θt∣tSt=2a1a2(1−t2a1a2)(1+a1a2)\displaystyle \frac{x_t|\tan\theta_t|}{tS_t}=\frac{2a_1a_2}{(1-t^2a_1a_2)(1+a_1a_2)}이다. 1<a1<e\displaystyle 1<a_1<e이고 t−1<a2<t−53\displaystyle t^{-1}<a_2<t^{-\frac53}이기 때문에 t−1<a1a2<et−53\displaystyle t^{-1}<a_1a_2<et^{-\frac53}이다. 즉 lim⁡t→0+t2a1a2=0\displaystyle \lim_{t\to0^+}t^2a_1a_2=0이고 lim⁡t→0+a1a2=∞\displaystyle \lim_{t\to0^+}a_1a_2=\infty이므로 lim⁡t→0+xt∣tan⁡θt∣tSt=2\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{x_t|\tan\theta_t|}{tS_t}=2이다.

하위 문항채점 기준배점
【2-1】β=1e\displaystyle \beta=\frac1e를 구하면 15점15
【2-2】 (1)tan⁡θt=tan⁡(θ1+θ2+π2)\displaystyle \tan\theta_t=\tan\left(\theta_1+\theta_2+\frac\pi2\right)를 구하면 5점<br>tan⁡θ1=a1\displaystyle \tan\theta_1=a_1를 구하면 5점<br>tan⁡θ2=1a2\displaystyle \tan\theta_2=\frac1{a_2}를 구하면 5점<br>k+ℓ=2\displaystyle k+\ell=2를 구하면 5점20
【2-2】 (2)접선의 방정식이 각각 y=1a1x+ta1−1, y=1a2x+ta2−1\displaystyle y=\frac1{a_1}x+ta_1-1,\ y=\frac1{a_2}x+ta_2-1임을 구하면 5점<br>St=∫a1ta1a2(1a1x+ta1−1)dx+∫ta1a2a2(1a2x+ta1−1)dx−∫a1a2ln⁡x dx\displaystyle S_t=\int_{a_1}^{ta_1a_2}\left(\frac1{a_1}x+ta_1-1\right)dx+\int_{ta_1a_2}^{a_2}\left(\frac1{a_2}x+ta_1-1\right)dx-\int_{a_1}^{a_2}\ln x\,dx임을 구하면 5점<br>m×n=−1\displaystyle m\times n=-1를 구하면 15점25
【2-3】함수 f(x)=ln⁡x−tx\displaystyle f(x)=\ln x-tx의 그래프 개형을 파악하면 5점<br>t−1<a2\displaystyle t^{-1}<a_2를 보이면 10점<br>a2<t−53\displaystyle a_2<t^{-\frac53}를 보이면 20점35

Correction. 【2-3】 (2)는 25\displaystyle 25점이며 예시답안도 제시되어 있지만, 이 공개 자료의 채점표에는 해당 소문항의 채점기준이 빠져 있다. 문항의 배점 합계는 120\displaystyle 120점이고 공개 채점기준의 합계는 95\displaystyle 95점이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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