자연계열 II 3번

【3-1】 (1) $\displaystyle 0\le a\le x\le b$이므로 $\displaystyle n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}$로 두면 $\displaystyle m\ge0,n\ge0,m+n=1>0$이다. 조건 (I)로부터 $\displaystyle f(x)\le\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)$이다.

(2) $\displaystyle t-L\le x\le t$에 대하여, $\displaystyle a=t-L,\ b=t,\ n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}$로 두면 【3-1】 (1)의 결과로부터 $\displaystyle f(x)\le\left\{\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\right\}$이므로 $\displaystyle \int_{t-L}^tf(x)\,dx\le\int_{t-L}^t\left\{\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\right\}dx$이다. 즉, $\displaystyle \int_{t-L}^tf(x)\,dx\le\frac L2\{f(t)+f(t-L)\}$이다. 한편, $\displaystyle t\le x\le t+L$에 대하여 $\displaystyle a=t,\ b=t+L,\ n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}$로 두면 $\displaystyle \int_t^{t+L}f(x)\,dx\le\frac L2\{f(t+L)+f(t)\}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx\le\frac14\{f(t-L)+f(t+L)+2f(t)\}$이다.

$\displaystyle 0\le x\le L$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 조건 (I)로부터 $\displaystyle f(t)\le\frac12\{f(t-x)+f(t+x)\}$이므로 $\displaystyle f(t)=\frac1L\int_0^Lf(t)\,dx\le\frac1{2L}\int_0^L\{f(t-x)+f(t+x)\}\,dx$이고 치환적분을 이용하면 $\displaystyle \frac1{2L}\int_0^L\{f(t-x)+f(t+x)\}\,dx=\frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx$이다.

【3-2】 (1) (ㄱ)=0, (ㄴ)=0, (ㄷ)= −1

(2) $\displaystyle \int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx=\int_0^1\frac1{1+(1+x)^2}\,dx+\int_1^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx$이다.$\displaystyle h\left(\frac12\right)\le\int_0^1\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(0)+h(1)+2h\left(\frac12\right)\right\},$$\displaystyle h\left(\frac32\right)\le\int_1^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(1)+h(2)+2h\left(\frac32\right)\right\}$이므로$\displaystyle \frac{11}{25}\le h\left(\frac12\right)+h\left(\frac32\right)\le\int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(0)+2h\left(\frac12\right)+2h(1)+2h\left(\frac32\right)+h(2)\right\}<\frac{12}{25}$

이다. 따라서 $\displaystyle \ell=11$이다.

【3-3】 $\displaystyle t-\frac L{2^{k+1}}\le x\le t+\frac L{2^{k+1}}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 조건 (I)로부터 $\displaystyle f(x)\le\frac12\left\{f\left(x-\frac L{2^{k+1}}\right)+f\left(x+\frac L{2^{k+1}}\right)\right\}$이다. 따라서$\displaystyle c_{k+1}=\frac{2^k}L\int_{t-\frac L{2^{k+1}}}^{t+\frac L{2^{k+1}}}f(x)\,dx\le\frac{2^{k-1}}L\int_{t-\frac L{2^{k+1}}}^{t+\frac L{2^{k+1}}}\left\{f\left(x-\frac L{2^{k+1}}\right)+f\left(x+\frac L{2^{k+1}}\right)\right\}dx=\frac{2^{k-1}}L\int_{t-\frac L{2^k}}^{t+\frac L{2^k}}f(x)\,dx=c_k$이다.(마지막 등호는 치환적분법을 이용)