수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 3번

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경북대 2021학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon2_3

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[ 제시문 ]

(가) 임의의 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 구간에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx이다.

(나) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)일 때, α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt이다.

[ 문항 ]

x≥0\displaystyle x\ge0에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x>0\displaystyle x>0에서 미분가능하고, 음이 아닌 모든 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 다음 조건 (I)을 만족시킨다.

(I) : m≥0,n≥0,m+n>0\displaystyle m\ge0,n\ge0,m+n>0인 모든 실수 m,n\displaystyle m,n에 대하여f(mb+nam+n)≤mf(b)+nf(a)m+n\displaystyle f\left(\frac{mb+na}{m+n}\right)\le\frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}

다음 물음에 답하시오.

【3-1】 (1) 0≤a≤x≤b\displaystyle 0\le a\le x\le b일 때f(x)≤x−ab−af(b)+b−xb−af(a)\displaystyle f(x)\le\frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{b-x}{b-a}f(a)임을 증명하시오. (단, a<b\displaystyle a<b) (15점)

(2) 양의 상수 L\displaystyle L에 대하여 t≥L\displaystyle t\ge L일 때f(t)≤12L∫t−Lt+Lf(x) dx≤14{f(t−L)+f(t+L)+2f(t)}\displaystyle f(t)\le\frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx\le\frac14\{f(t-L)+f(t+L)+2f(t)\}임을 증명하시오. (40점)

【3-2】 (1) 다음은 함수 h(x)=11+(1+x)2\displaystyle h(x)=\frac1{1+(1+x)^2}이 음이 아닌 모든 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 조건 (I)을 만족시키는 것을 보이는 과정이다.

m≥0,n≥0,m+n>0\displaystyle m\ge0,n\ge0,m+n>0인 실수 m,n\displaystyle m,n에 대하여 nm+n=s\displaystyle \frac n{m+n}=s로 두면 0≤s≤1\displaystyle 0\le s\le1이다.p(s)=sh(a)+(1−s)h(b)−h(sa+(1−s)b)\displaystyle p(s)=sh(a)+(1-s)h(b)-h(sa+(1-s)b)라 하면, p(0)=ㄱ\displaystyle p(0)=\boxed{\text{ㄱ}}이고 p(1)=ㄴ\displaystyle p(1)=\boxed{\text{ㄴ}}이다. 또한p(s)=s1+(1+a)2+1−s1+(1+b)2−11+{1+sa+(1−s)b}2\displaystyle p(s)=\frac s{1+(1+a)^2}+\frac{1-s}{1+(1+b)^2}-\frac1{1+\{1+sa+(1-s)b\}^2}이므로 1+a=A, 1+b=B\displaystyle 1+a=A,\ 1+b=B로 두면p(s)=s1+A2+1−s1+B2−11+{sA+(1+ㄷ×s)B}2\displaystyle p(s)=\frac s{1+A^2}+\frac{1-s}{1+B^2}-\frac1{1+\{sA+(1+\boxed{\text{ㄷ}}\times s)B\}^2}이다.q(s)=p(s)×(1+A2)(1+B2)[1+{sA+(1+ㄷ×s)B}2]\displaystyle q(s)=p(s)\times(1+A^2)(1+B^2)[1+\{sA+(1+\boxed{\text{ㄷ}}\times s)B\}^2]이라 하면, q(s)\displaystyle q(s)는 s\displaystyle s에 대한 다항식이다. q(s)\displaystyle q(s)를 인수분해하여 정리하면q(s)=(B−A)2s(1−s){sA2+(1−s)B2+2AB−1}\displaystyle q(s)=(B-A)^2s(1-s)\{sA^2+(1-s)B^2+2AB-1\}이다. A≥1,B≥1\displaystyle A\ge1,B\ge1이므로, q(s)≥0\displaystyle q(s)\ge0이고 p(s)≥0\displaystyle p(s)\ge0이다.

위의 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

(2) ℓ25≤∫0211+(1+x)2 dx<ℓ+125\displaystyle \frac\ell{25}\le\int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx<\frac{\ell+1}{25}을 만족시키는 자연수 ℓ\displaystyle \ell의 값을 구하시오. (30점)

【3-3】 두 양수 L,t\displaystyle L,t에 대하여 수열 {ck}\displaystyle \{c_k\}의 일반항이ck=2k−1L∫t−L2kt+L2kf(x) dx\displaystyle c_k=\frac{2^{k-1}}L\int_{t-\frac L{2^k}}^{t+\frac L{2^k}}f(x)\,dx라 하자. 자연수 k\displaystyle k에 대하여 ck+1≤ck\displaystyle c_{k+1}\le c_k임을 증명하시오.(단, t≥L2\displaystyle t\ge\frac L2) (30점)

해설강의 준비중

경북대 2021학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021su/jayeon2_3

+5점 · n=b−xb−a\displaystyle n=\frac{b-x}{b-a} 또는 그의 양의 상수배 n=k(b−x)\displaystyle n=k(b-x)로 두었으면
+5점 · m=x−ab−a\displaystyle m=\frac{x-a}{b-a} 또는 그의 양의 상수배 m=k(x−a)\displaystyle m=k(x-a)로 두었으면

【3-1】 (1) 0≤a≤x≤b\displaystyle 0\le a\le x\le b이므로 n=b−xb−a, m=x−ab−a\displaystyle n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}로 두면

+5점 · m≥0,n≥0\displaystyle m\ge0,n\ge0을 확인하였으면

m≥0,n≥0,m+n=1>0\displaystyle m\ge0,n\ge0,m+n=1>0이다. 조건 (I)로부터 f(x)≤b−xb−af(a)+x−ab−af(b)\displaystyle f(x)\le\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)이다.

+20점 · 12L∫t−Lt+Lf(x) dx≤14{f(t−L)+f(t+L)+2f(t)}\displaystyle \frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx\le\frac14\{f(t-L)+f(t+L)+2f(t)\}의 증명이 올바르면

(2) t−L≤x≤t\displaystyle t-L\le x\le t에 대하여, a=t−L, b=t, n=b−xb−a, m=x−ab−a\displaystyle a=t-L,\ b=t,\ n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}로 두면 【3-1】 (1)의 결과로부터 f(x)≤{b−xb−af(a)+x−ab−af(b)}\displaystyle f(x)\le\left\{\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\right\}이므로 ∫t−Ltf(x) dx≤∫t−Lt{b−xb−af(a)+x−ab−af(b)}dx\displaystyle \int_{t-L}^tf(x)\,dx\le\int_{t-L}^t\left\{\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\right\}dx이다. 즉, ∫t−Ltf(x) dx≤L2{f(t)+f(t−L)}\displaystyle \int_{t-L}^tf(x)\,dx\le\frac L2\{f(t)+f(t-L)\}이다. 한편, t≤x≤t+L\displaystyle t\le x\le t+L에 대하여 a=t, b=t+L, n=b−xb−a, m=x−ab−a\displaystyle a=t,\ b=t+L,\ n=\frac{b-x}{b-a},\ m=\frac{x-a}{b-a}로 두면 ∫tt+Lf(x) dx≤L2{f(t+L)+f(t)}\displaystyle \int_t^{t+L}f(x)\,dx\le\frac L2\{f(t+L)+f(t)\}이다. 따라서 12L∫t−Lt+Lf(x) dx≤14{f(t−L)+f(t+L)+2f(t)}\displaystyle \frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx\le\frac14\{f(t-L)+f(t+L)+2f(t)\}이다.

+20점 · f(t)≤12L∫t−Lt+Lf(x) dx\displaystyle f(t)\le\frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx의 증명이 올바르면

0≤x≤L\displaystyle 0\le x\le L인 실수 x\displaystyle x에 대하여 조건 (I)로부터 f(t)≤12{f(t−x)+f(t+x)}\displaystyle f(t)\le\frac12\{f(t-x)+f(t+x)\}이므로 f(t)=1L∫0Lf(t) dx≤12L∫0L{f(t−x)+f(t+x)} dx\displaystyle f(t)=\frac1L\int_0^Lf(t)\,dx\le\frac1{2L}\int_0^L\{f(t-x)+f(t+x)\}\,dx이고 치환적분을 이용하면 12L∫0L{f(t−x)+f(t+x)} dx=12L∫t−Lt+Lf(x) dx\displaystyle \frac1{2L}\int_0^L\{f(t-x)+f(t+x)\}\,dx=\frac1{2L}\int_{t-L}^{t+L}f(x)\,dx이다.

+15점 · 답 (ㄱ)=0, (ㄴ)=0, (ㄷ)= −1이 맞으면 각 5점

【3-2】 (1) (ㄱ)=0, (ㄴ)=0, (ㄷ)= −1

+10점 · ∫0211+(1+x)2 dx<B1\displaystyle \int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx<B_1인 B1\displaystyle B_1을 1225\displaystyle \frac{12}{25}보다 작거나 같게 구했으면
+10점 · ∫0211+(1+x)2 dx≥B2\displaystyle \int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\ge B_2인 B2\displaystyle B_2를 1125\displaystyle \frac{11}{25}보다 크거나 같게 구했으면

(2) ∫0211+(1+x)2 dx=∫0111+(1+x)2 dx+∫1211+(1+x)2 dx\displaystyle \int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx=\int_0^1\frac1{1+(1+x)^2}\,dx+\int_1^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx이다.h(12)≤∫0111+(1+x)2 dx≤14{h(0)+h(1)+2h(12)},\displaystyle h\left(\frac12\right)\le\int_0^1\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(0)+h(1)+2h\left(\frac12\right)\right\},h(32)≤∫1211+(1+x)2 dx≤14{h(1)+h(2)+2h(32)}\displaystyle h\left(\frac32\right)\le\int_1^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(1)+h(2)+2h\left(\frac32\right)\right\}이므로1125≤h(12)+h(32)≤∫0211+(1+x)2 dx≤14{h(0)+2h(12)+2h(1)+2h(32)+h(2)}<1225\displaystyle \frac{11}{25}\le h\left(\frac12\right)+h\left(\frac32\right)\le\int_0^2\frac1{1+(1+x)^2}\,dx\le\frac14\left\{h(0)+2h\left(\frac12\right)+2h(1)+2h\left(\frac32\right)+h(2)\right\}<\frac{12}{25}

+10점 · 답 ℓ=11\displaystyle \ell=11이 맞으면

이다. 따라서 m=11\displaystyle m=11이다.Correction. 예시답안 결론의 m=11\displaystyle m=11은 ℓ=11\displaystyle \ell=11의 오기이다. 발문이 묻는 정수는 ℓ\displaystyle \ell이고, 적분값은 1125\displaystyle \frac{11}{25} 이상 1225\displaystyle \frac{12}{25} 미만이다. 채점기준에도 ℓ=11\displaystyle \ell=11이라고 적혀 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+30점 · 증명이 올바르면

【3-3】 t−L2k+1≤x≤t+L2k+1\displaystyle t-\frac L{2^{k+1}}\le x\le t+\frac L{2^{k+1}}인 실수 x\displaystyle x에 대하여 조건 (I)로부터 f(x)≤12{f(x−L2k+1)+f(x+L2k+1)}\displaystyle f(x)\le\frac12\left\{f\left(x-\frac L{2^{k+1}}\right)+f\left(x+\frac L{2^{k+1}}\right)\right\}이다. 따라서ck+1=2kL∫t−L2k+1t+L2k+1f(x) dx≤2k−1L∫t−L2k+1t+L2k+1{f(x−L2k+1)+f(x+L2k+1)}dx=2k−1L∫t−L2kt+L2kf(x) dx=ck\displaystyle c_{k+1}=\frac{2^k}L\int_{t-\frac L{2^{k+1}}}^{t+\frac L{2^{k+1}}}f(x)\,dx\le\frac{2^{k-1}}L\int_{t-\frac L{2^{k+1}}}^{t+\frac L{2^{k+1}}}\left\{f\left(x-\frac L{2^{k+1}}\right)+f\left(x+\frac L{2^{k+1}}\right)\right\}dx=\frac{2^{k-1}}L\int_{t-\frac L{2^k}}^{t+\frac L{2^k}}f(x)\,dx=c_k이다.(마지막 등호는 치환적분법을 이용)

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