자연계열 II 3번

【3-1】 점 $\displaystyle (0,a)$에서 곡선 $\displaystyle P$위의 점 $\displaystyle (x,x^2)$까지의 거리 $\displaystyle \sqrt{x^2+(x^2-a)^2}$가 최솟값 $\displaystyle r(a)$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)=x^2+(x^2-a)^2=x^4+(1-2a)x^2+a^2$가 최솟값 $\displaystyle {r(a)}^2$을 가진다.

$\displaystyle a\ge\dfrac12$이면 $\displaystyle x^2=-\dfrac{1-2a}2=a-\dfrac12\ge0\ \Leftrightarrow\ x=\pm\sqrt{a-\dfrac12}$에서 $\displaystyle f(x)$는 최솟값 $\displaystyle a-\dfrac14$을 갖고,$\displaystyle a<\dfrac12$이면 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle f(x)$는 최솟값 $\displaystyle a^2$을 가진다. 따라서,$\displaystyle r(a)=\begin{cases}\sqrt{a-\dfrac14}&\left(a\ge\dfrac12\right)\\|a|&\left(a<\dfrac12\right)\end{cases}$

이고, 주어진 정적분은$\displaystyle \int_{-1}^1\{r(a)\}^2\,da=\int_{-1}^{\frac12}a^2\,da+\int_{\frac12}^1\left(a-\dfrac14\right)\,da=\dfrac58$

【3-2】 원 $\displaystyle C_a$와 곡선 $\displaystyle P$와의 교점을 $\displaystyle (x_0,y_0)$라 두면, $\displaystyle y_0=x_0^2\ge0$이다.

$\displaystyle a<\dfrac12$이면 원 $\displaystyle C_a$의 방정식은 $\displaystyle x^2+(y-a)^2=r(a)^2=a^2\ \Leftrightarrow\ x^2+y^2-2ay=0$이고, $\displaystyle x^2=y$를 대입하면, $\displaystyle y_0^2+(1-2a)y_0=0$. 따라서 $\displaystyle y_0=0$이거나 $\displaystyle y_0=2a-1<0$그런데 $\displaystyle y_0=x_0^2\ge0$이므로, 유일한 교점은 $\displaystyle (x_0,y_0)=(0,0)$이다. 이때 원 $\displaystyle C_a$와 곡선 $\displaystyle P$는 원점 $\displaystyle (0,0)$에서 $\displaystyle x$축에 접하므로, 접선의 방정식은 둘 다 $\displaystyle y=0$으로 일치한다.Caution. 원을 다룰 때는 반지름이 양수인지 확인해야 한다: a=0이면 r(0)=0이므로 C_0에는 원점 한 점만 남는다. 따라서 원의 접선을 정의할 수 없으며, 3-2의 접선에 관한 주장은 a≠0인 경우로 제한해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle a\ge\dfrac12$이면 원 $\displaystyle C_a$의 방정식은 $\displaystyle x^2+(y-a)^2=r(a)^2=a-\dfrac14\ \Leftrightarrow\ x^2+y^2-2ay+\left(a-\dfrac12\right)^2=0$이고,$\displaystyle x^2=y$를 대입하면, $\displaystyle y_0+y_0^2-2ay+\left(a-\dfrac12\right)^2=0\ \Leftrightarrow\ y_0^2+(1-2a)y_0+\left(a-\dfrac12\right)^2=0\ \Leftrightarrow\ y_0=a-\dfrac12$에서 중근을 갖는다.따라서 교점은 $\displaystyle (x_0,y_0)=\left(\pm\sqrt{a-\dfrac12},a-\dfrac12\right)$각 교점에서 원 $\displaystyle C_a$의 접선과 곡선 $\displaystyle P$의 접선의 방정식은$\displaystyle x_0(x-x_0)+(y_0-a)(y-y_0)=\pm\sqrt{a-\dfrac12}\left(x\mp\sqrt{a-\dfrac12}\right)+\left(a-\dfrac12-a\right)\left(y-a+\dfrac12\right)=0$과$\displaystyle y-y_0=2x_0(x-x_0)\ \Leftrightarrow\ y-a+\dfrac12=\pm2\sqrt{a-\dfrac12}\left(x\mp\sqrt{a-\dfrac12}\right)$이고, 이를 정리하면 두 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\pm2\sqrt{a-\dfrac12}x-\left(a-\dfrac12\right)$으로 일치한다.Correction. 3-2에서 $\displaystyle a\ge\frac12$인 경우, 교점 좌표를 대입한 식의 $\displaystyle -2ay$와 바로 다음 식의 $\displaystyle (1-2a)y$는 각각 $\displaystyle -2ay_0$, $\displaystyle (1-2a)y_0$의 오기이다. 두 곳에 첨자 $\displaystyle 0$이 빠졌다. 이를 넣으면 다음과 같이 정리되어 뒤의 $\displaystyle y_0=a-\frac12$와 일치한다. $\begin{aligned} &y_0^2+(1-2a)y_0+\left(a-\frac12\right)^2 \\ &=\left(y_0-a+\frac12\right)^2=0 \end{aligned}$ 원문 표기는 그대로 실었다.

왼쪽 그림에서, 주어진 영역은 곡선 $\displaystyle P$와 원호 $\displaystyle \mathrm{CFD}$로 둘러싸인 영역$\displaystyle \mathrm{CODF}$가 된다. 곡선$\displaystyle \mathrm{COD}$와 선분$\displaystyle \mathrm{CD}$로 둘러싸인 영역을 영역$\displaystyle \mathrm{COD}$라고 나타내면,$\displaystyle \begin{aligned}S(a)&=(\text{영역 COD의 넓이})+(\text{삼각형 ACD의 넓이})\\&\quad+(\text{부채꼴 ABC의 넓이})+(\text{부채꼴 ADE의 넓이})\\&\quad-(\text{반원 ABFE의 넓이})\end{aligned}$

(영역 $\displaystyle \mathrm{COD}$의 넓이)$\displaystyle =2\sqrt{a-\dfrac12}\left(a-\dfrac12\right)-\displaystyle\int_{-\sqrt{a-\frac12}}^{\sqrt{a-\frac12}}x^2\,dx=\dfrac43\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)^3$(삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 넓이)$\displaystyle =2\sqrt{a-\dfrac12}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac12\sqrt{a-\dfrac12}$(반원 $\displaystyle \mathrm{ABFE}$의 넓이)$\displaystyle =\dfrac\pi2\left(\sqrt{a-\dfrac14}\right)^2=\dfrac\pi2\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)^2+\dfrac\pi8$

(부채꼴 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이)$\displaystyle =$(부채꼴 $\displaystyle \mathrm{ADE}$의 넓이)이고, 이 부채꼴에 대해 (나)에 주어진 부등식을 이용하면,$\displaystyle \dfrac14\sqrt{a-\dfrac12}\le(\text{부채꼴 ABC의 넓이})\le\sqrt{a-\dfrac14}\cdot\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt{a-\frac14}}{\sqrt{a-\frac12}}\right)\cdot\dfrac12=\dfrac14\sqrt{a-\dfrac12}+\dfrac1{16\sqrt{a-\frac12}}$

이제 $\displaystyle F(x)=\dfrac43x^3-\dfrac\pi2x^2+x-\dfrac\pi8$라 두면, 아래 부등식을 얻는다.$\displaystyle F\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)\le S(a)\le F\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)+\dfrac1{8\sqrt{a-\frac12}}\ \Leftrightarrow\ 0\le S(a)-F\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)\le\dfrac1{8\sqrt{a-\frac12}}$

여기서 $\displaystyle\lim_{a\to\infty}\dfrac1{8\sqrt{a-\frac12}}=0$이므로 함수의 극한의 대소관계에 의해, $\displaystyle\lim_{a\to\infty}\left\{S(a)-F\left(\sqrt{a-\dfrac12}\right)\right\}=0$.