자연계열 II 1번

【1-1】 $\displaystyle x=1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 미분가능 하므로,$\displaystyle \dfrac a3+\dfrac b2+d=0\Rightarrow d=-\dfrac a3-\dfrac b2$, $\displaystyle a+b=\left.-(-3x^2+20x-25)e^{-x+1}\right|_{x=1}=8$

$\displaystyle \therefore b+6d=(8-a)+(-2a-3b)=-16.$

(2) 조건으로부터 $\displaystyle x<0$이면, $\displaystyle f(x)<0$이다. $\displaystyle g^{\prime}(x)=(1-f^{\prime}(f(x)))f^{\prime}(x)\quad\Rightarrow f^{\prime}(f(x))=1$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$로부터 $\displaystyle f(x)=y_1,y_2,y_3$, $\displaystyle f^{\prime}(y_i)=1$, $\displaystyle 0<y_1<1,1<y_2<\dfrac53,5<y_3$인 $\displaystyle x$와 $\displaystyle x=\dfrac53$에서 극대 또는 극소가 된다. 함숫값 $\displaystyle y_1,y_2$에 대하여 각각 두 개씩의 실수 $\displaystyle x\ \left(\ne\dfrac53\right)$가 존재하지만, $\displaystyle f\left(\dfrac53\right)<\dfrac{11}3$이므로 함숫값이 $\displaystyle y_3$인 $\displaystyle x$는 존재하지 않는다.

그러므로, 5개 존재한다.Caution. 서로 다른 실근의 존재 조건을 확인해야 한다: 대학 예시답안에서 놓은 $\displaystyle y_3>5$는 $\displaystyle f^{\prime}(y)=1$을 만족할 수 없다. $\displaystyle y>5$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(y)<1$이기 때문이다. 이 잘못된 근을 제외해도 최종 극값의 개수는 $\displaystyle 5$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【1-3】 $\displaystyle g^{\prime}(x)=(1-f^{\prime}(f(x)))f^{\prime}(x)$로부터 $\displaystyle x=-\dfrac ba$에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 극값을 가지고 조건으로부터 $\displaystyle x=t,t\in(0,1)$에서 유일한 극값을 갖는다. 그런데, $\displaystyle f^{\prime}(x)\ne0,0<x<1$이므로, $\displaystyle 1-f^{\prime}(f(t))=0$.① $\displaystyle f(t)<f\left(-\dfrac ba\right)$이면 $\displaystyle f(t)=f(c)$, $\displaystyle c\in\left(-\infty,-\dfrac ba\right)$인 $\displaystyle c$가 존재하여 조건에 모순이다.② $\displaystyle f(t)>f\left(-\dfrac ba\right)$이라 하자. 조건으로부터 $\displaystyle g(t)=g\left(-\dfrac ba\right)\quad\Rightarrow\quad\dfrac{f(f(t))-f\left(f\left(-\frac ba\right)\right)}{f(t)-f\left(-\frac ba\right)}=1$이므로값 정리에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(s)=1$, $\displaystyle s\in\left(f\left(-\dfrac ba\right),f(t)\right)$인 $\displaystyle s$가 존재한다. 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle s=f(s^{\prime})$, $\displaystyle s^{\prime}\in(0,t)$인 $\displaystyle s^{\prime}$이 존재한다. 이는 조건에 모순이다.①과 ②로부터, $\displaystyle f(t)=f\left(-\dfrac ba\right)\Rightarrow2a\left(af\left(-\dfrac ba\right)+b\right)+1=0\Rightarrow2a(ac+b)+1=0$.그리고, $\displaystyle x=-\dfrac ba$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속이므로, $\displaystyle c=-\dfrac{b^3}{3a^2}+\dfrac{b^3}{2a^2}+d$.

두 식을 $\displaystyle a+b=8,d=\dfrac16b-\dfrac83$과 연립하면, $\displaystyle b$에 대한 이차 방정식 $\displaystyle b^2-40b+\dfrac{1021}6=0$. $\displaystyle \therefore p=-40$.