수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 3번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_3

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문제

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 그 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(a) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 증가한다.(b) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 감소한다.

(나) 두 함수 y=f(u),u=g(x)\displaystyle y=f(u),u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=x0\displaystyle x=x_0에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (x0,f(x0))\displaystyle (x_0,f(x_0))에서의 접선의 방정식은y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)\displaystyle f(a)\ne f(b)이면 f(a)\displaystyle f(a)와 f(b)\displaystyle f(b) 사이에 있는 임의의 값 k\displaystyle k에 대하여 f(c)=k\displaystyle f(c)=k인 c\displaystyle c가 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

(마) 수렴하는 두 수열 an\displaystyle {a_n}, bn\displaystyle {b_n}에 대하여lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α(α는 실수)\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\quad(\alpha\text{는 실수})일 때, 수열 cn\displaystyle {c_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

실수 a\displaystyle a에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)를f(x)={(7−a)x+4cos⁡x−2(π+1)(x≥0)−(a+1)x2−(7−a)ln⁡(1−x)−2(π−1)(x<0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}(7-a)x+4\cos x-2(\pi+1)&(x\ge0)\\-(a+1)x^2-(7-a)\ln(1-x)-2(\pi-1)&(x<0)\end{cases}이라 하자. 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이 되기 위한 모든 a\displaystyle a의 값의 범위는 k1≤a<k2\displaystyle k_1\le a<k_2이다.

【3-1】 k1\displaystyle k_1과 k2\displaystyle k_2의 값을 각각 구하시오. (20점)

【3-2】 k1<a<k2\displaystyle k_1<a<k_2일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 역함수 g(x)\displaystyle g(x)를 가진다. 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 y\displaystyle y절편을 h(a)\displaystyle h(a)라 할 때, 함수 h(a)\displaystyle h(a)는 미분가능하다. h′(1)\displaystyle h^{\prime}(1)의 값을 구하시오. (단, h(1)=π3\displaystyle h(1)=\dfrac\pi3) (25점)

【3-3】 a=1\displaystyle a=1일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서의 접선이 원점을 지나도록 하는 모든 실수 t\displaystyle t의 집합을 S\displaystyle S라 하자.(1) 집합 S\displaystyle S의 원소 중 열린구간 (−2,6π)\displaystyle (-2,6\pi)에 속하는 원소의 개수가 5\displaystyle 5임을 증명하시오. (단, 6ln⁡3+2π<14\displaystyle 6\ln3+2\pi<14) (35점)

(2) 집합 S\displaystyle S의 원소 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, n\displaystyle n번째 수를 cn\displaystyle c_n이라 하자. lim⁡n→∞(c2n−c2n−1)=π\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c_{2n}-c_{2n-1})=\pi가 성립함을 증명하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon2_3

+10점 · k1=−1\displaystyle k_1=-1을 구하면
+10점 · k2=3\displaystyle k_2=3을 구하면

Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: x<0\displaystyle x<0일 때 a=7\displaystyle a=7을 대입하면 f′(x)=−16x>0\displaystyle f^{\prime}(x)=-16x>0이므로 이 끝값도 가능하다. 이 구간에서의 범위는 −1≤a≤7\displaystyle -1\le a\le7이다. 다만 다른 구간의 조건 a<3\displaystyle a<3과 함께 적용하면 최종 범위는 원문과 같은 −1≤a<3\displaystyle -1\le a<3이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【3-1】f′(x)={(7−a)−4sin⁡x(x≥0)−2(a+1)x+7−a1−x(x<0)\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}(7-a)-4\sin x&(x\ge0)\\-2(a+1)x+\dfrac{7-a}{1-x}&(x<0)\end{cases}이다. x≥0\displaystyle x\ge0일 때 a<3\displaystyle a<3이다. x<0\displaystyle x<0일 때 −1≤a<7\displaystyle -1\le a<7이다. 따라서 k1=−1\displaystyle k_1=-1, k2=3\displaystyle k_2=3이다.

+10점 · (7−a)h(a)+4cos⁡(h(a))−2(π+1)=0\displaystyle (7-a)h(a)+4\cos(h(a))-2(\pi+1)=0이 성립함을 보이면

【3-2】h(a)=g(0)\displaystyle h(a)=g(0)이므로, f(h(a))=f(g(0))=0\displaystyle f(h(a))=f(g(0))=0이다. f(0)=−2(π−1)<0\displaystyle f(0)=-2(\pi-1)<0이고 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이므로 h(a)>0\displaystyle h(a)>0이고,f(h(a))=(7−a)h(a)+4cos⁡(h(a))−2(π+1)\displaystyle f(h(a))=(7-a)h(a)+4\cos(h(a))-2(\pi+1)이다. 따라서 (7−a)h(a)+4cos⁡(h(a))−2(π+1)=0\displaystyle (7-a)h(a)+4\cos(h(a))-2(\pi+1)=0이다.

+15점 · h′(1)=(3+3)π36\displaystyle h^{\prime}(1)=\dfrac{(3+\sqrt3)\pi}{36}를 구하면

양변을 미분하면,−h(a)+(7−a)h′(a)−4sin⁡(h(a))h′(a)=0\displaystyle -h(a)+(7-a)h^{\prime}(a)-4\sin(h(a))h^{\prime}(a)=0이고, h(1)=π3\displaystyle h(1)=\dfrac\pi3이므로, h′(1)=(3+3)π36\displaystyle h^{\prime}(1)=\dfrac{(3+\sqrt3)\pi}{36}이다.

【3-3】(1) a=1\displaystyle a=1일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서의 접선의 방정식은 y−f(t)=f′(t)(x−t)\displaystyle y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)이고, 이 접선이 원점을 지나면 f(t)−tf′(t)=0\displaystyle f(t)-tf^{\prime}(t)=0이다. w(x)=f(x)−xf′(x)\displaystyle w(x)=f(x)-xf^{\prime}(x)라 하면w(x)={4cos⁡x+4xsin⁡x−2(π+1)(x≥0)2x2−6ln⁡(1−x)−6x1−x−2(π−1)(x<0)\displaystyle w(x)=\begin{cases}4\cos x+4x\sin x-2(\pi+1)&(x\ge0)\\2x^2-6\ln(1-x)-\dfrac{6x}{1-x}-2(\pi-1)&(x<0)\end{cases}이다. w(−2)=14−6ln⁡3−2π>0\displaystyle w(-2)=14-6\ln3-2\pi>0, w(0)=−2(π−1)<0\displaystyle w(0)=-2(\pi-1)<0, w(π2)<0\displaystyle w\left(\dfrac\pi2\right)<0,w(2nπ)<0\displaystyle w(2n\pi)<0, w((2n+12)π)>0\displaystyle w\left(\left(2n+\dfrac12\right)\pi\right)>0, w((2n+1)π)<0\displaystyle w((2n+1)\pi)<0, w((2n+32)π)<0\displaystyle w\left(\left(2n+\dfrac32\right)\pi\right)<0이다. (단, n\displaystyle n은 자연수)w′(x)={4xcos⁡x(x≥0)4x−6x(1−x)2(x<0)\displaystyle w^{\prime}(x)=\begin{cases}4x\cos x&(x\ge0)\\4x-\dfrac{6x}{(1-x)^2}&(x<0)\end{cases}이므로 열린구간 (−2,−62+1)\displaystyle \left(-2,-\dfrac{\sqrt6}2+1\right), ((2n+12)π,(2n+32)π)\displaystyle \left(\left(2n+\dfrac12\right)\pi,\left(2n+\dfrac32\right)\pi\right)에서 w′(x)<0\displaystyle w^{\prime}(x)<0이고 열린구간 (−62+1,0)\displaystyle \left(-\dfrac{\sqrt6}2+1,0\right), (2nπ,(2n+12)π)\displaystyle \left(2n\pi,\left(2n+\dfrac12\right)\pi\right), ((2n+32)π,(2n+2)π)\displaystyle \left(\left(2n+\dfrac32\right)\pi,(2n+2)\pi\right)에서 w′(x)>0\displaystyle w^{\prime}(x)>0이다. (단, n\displaystyle n은 음이 아닌 정수)

+30점 · 열린구간 (−2,0)\displaystyle (-2,0), (2π,52π)\displaystyle \left(2\pi,\dfrac52\pi\right), (52π,3π)\displaystyle \left(\dfrac52\pi,3\pi\right), (4π,92π)\displaystyle \left(4\pi,\dfrac92\pi\right), (92π,5π)\displaystyle \left(\dfrac92\pi,5\pi\right)에서 S\displaystyle S의 원소가 오직 하나씩 존재함을 보이면

사잇값 정리 및 함수 w(x)\displaystyle w(x)의 증감에 의해 열린구간 (−2,0)\displaystyle (-2,0), (2π,52π)\displaystyle \left(2\pi,\dfrac52\pi\right), (52π,3π)\displaystyle \left(\dfrac52\pi,3\pi\right), (4π,92π)\displaystyle \left(4\pi,\dfrac92\pi\right), (92π,5π)\displaystyle \left(\dfrac92\pi,5\pi\right)에서 S\displaystyle S의 원소가 오직 하나씩 존재하며,

+5점 · 구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi], [3π,4π]\displaystyle [3\pi,4\pi], [5π,6π)\displaystyle [5\pi,6\pi)에서 S\displaystyle S의 원소는 존재하지 않고, 52π\displaystyle \dfrac52\pi 및 92π\displaystyle \dfrac92\pi 역시 S\displaystyle S의 원소가 아님을 보이면

구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi], [3π,4π]\displaystyle [3\pi,4\pi], [5π,6π)\displaystyle [5\pi,6\pi)에서 S\displaystyle S의 원소는 존재하지 않고, 52π\displaystyle \dfrac52\pi 및 92π\displaystyle \dfrac92\pi 역시 S\displaystyle S의 원소가 아니다. 따라서, 열린구간 (−2,6π)\displaystyle (-2,6\pi)에 속하는 S\displaystyle S의 원소의 개수는 5\displaystyle 5이다.

+15점 · 2nπ<c2n−1<2nπ+1n\displaystyle 2n\pi<c_{2n-1}<2n\pi+\dfrac1n 또는 lim⁡n→∞(c2n−1−2nπ)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c_{2n-1}-2n\pi)=0이 성립함을 보이면

(2) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 닫힌구간 [2nπ,(2n+13)π]\displaystyle \left[2n\pi,\left(2n+\dfrac13\right)\pi\right]에서 w′(x)=4xcos⁡x≥8nπ×12=4nπ\displaystyle w^{\prime}(x)=4x\cos x\ge8n\pi\times\dfrac12=4n\pi이므로,w(2nπ+1n)≥w(2nπ)+1n×4nπ>0\displaystyle w\left(2n\pi+\dfrac1n\right)\ge w(2n\pi)+\dfrac1n\times4n\pi>0이다.

+15점 · (2n+1)π−1n<c2n<(2n+1)π\displaystyle (2n+1)\pi-\dfrac1n<c_{2n}<(2n+1)\pi 또는 lim⁡n→∞((2n+1)π−c2n)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}((2n+1)\pi-c_{2n})=0이 성립함을 보이면

닫힌구간 [(2n+23)π,(2n+1)π]\displaystyle \left[\left(2n+\dfrac23\right)\pi,(2n+1)\pi\right]에서w′(x)=4xcos⁡x≤−8nπ×12=−4nπ\displaystyle w^{\prime}(x)=4x\cos x\le-8n\pi\times\dfrac12=-4n\pi이므로 w((2n+1)π−1n)≥w((2n+1)π)+1n×4nπ>0\displaystyle w\left((2n+1)\pi-\dfrac1n\right)\ge w((2n+1)\pi)+\dfrac1n\times4n\pi>0이다.따라서 2nπ<c2n−1<2nπ+1n\displaystyle 2n\pi<c_{2n-1}<2n\pi+\dfrac1n, (2n+1)π−1n<c2n<(2n+1)π\displaystyle (2n+1)\pi-\dfrac1n<c_{2n}<(2n+1)\pi이므로, π−2n<c2n−c2n−1<π\displaystyle \pi-\dfrac2n<c_{2n}-c_{2n-1}<\pi이다.

+10점 · lim⁡n→∞(c2n−c2n−1)=π\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c_{2n}-c_{2n-1})=\pi가 성립함을 보이면

제시문 (마)에 의해 lim⁡n→∞(c2n−c2n−1)=π\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c_{2n}-c_{2n-1})=\pi가 성립한다.

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