자연계열 I 3번

【3-1】 조건에 의해$\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}3\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2$$\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\dfrac1{12}(2\alpha-\beta-\gamma)(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=0$이다. 그러므로 (i) $\displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma$ 또는 (ii) $\displaystyle \alpha=\beta$ 또는 (iii) $\displaystyle \alpha=\gamma$이다.

(i) 또는 (iii) 이면 $\displaystyle \alpha=\beta=\gamma$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-\alpha)^3,f(x)=\dfrac14(x-\alpha)^4+2\ (\because f(\alpha)=2)$이 경우 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f^{\prime}(x)$로 나누었을 때 나머지가 상수이므로 성립하지 않는다.그러므로 $\displaystyle \alpha=\beta$, $\displaystyle \beta\ne\gamma$이다.

【3-2】 $\displaystyle \alpha=\beta$, $\displaystyle \beta\ne\gamma$이므로 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)^2(x-\gamma)\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2$$\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac12(x-\alpha)(x-\gamma)\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)+\dfrac14(x-\alpha)^2\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)+\dfrac14(x-\alpha)^2(x-\gamma)-\dfrac23(x-\alpha)$

이고 $\displaystyle x=\gamma$를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}(\gamma)=\dfrac16(\gamma-\alpha)^3-\dfrac23(\gamma-\alpha)=0$이다. 그러므로 $\displaystyle r-\alpha=2$이다.Correction. 3-2 채점기준과 예시답안, 3-3 예시답안 첫 문장의 $\displaystyle r$는 $\displaystyle \gamma$의 오기이다. 앞의 식에서 $\displaystyle \gamma>\alpha$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle (\gamma-\alpha)\bigl((\gamma-\alpha)^2-4\bigr)=0$$\displaystyle \gamma-\alpha=2$따라서 해당 표기는 $\displaystyle r-\alpha=2$가 아니라 $\displaystyle \gamma-\alpha=2$이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

(1) 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=k$에서 불연속이므로 $\displaystyle \alpha\ne0$이다. 함수 $\displaystyle (f\circ g)(x)$가 연속이므로$\displaystyle f(g(k))=f(2\alpha),\displaystyle\lim_{x\to k-}f(g(x))=f(\alpha),\lim_{x\to k+}f(g(x))=f(2\alpha)$$\displaystyle 2=f(\alpha)=f(2\alpha)=\dfrac14\alpha^2(\alpha-2)\left(\alpha-\dfrac23\right)-\dfrac13\alpha^2+2$이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha=\dfrac83$이다.

(2) 함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 연속이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge k$를 만족시켜야 한다. 그러므로 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이다. 즉, $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle f(\gamma)=f(\alpha+2)=\dfrac23$이다.