수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 3번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 다항식 A\displaystyle A를 다항식 B (B≠0)\displaystyle B\ (B\ne0)로 나누었을 때의 몫을 Q\displaystyle Q, 나머지를 R\displaystyle R라 하면A=BQ+R\displaystyle A=BQ+R가 성립한다. 이때 R\displaystyle R의 차수는 B\displaystyle B의 차수보다 낮다.

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 실수 a\displaystyle a에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라고 한다.(ⅰ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있다.(ⅱ) 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.(ⅲ) lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

(다) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능할 때,{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

최고차항의 계수가 14\displaystyle \dfrac14인 사차함수 f(x)\displaystyle f(x)와 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(1) 방정식 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0은 세 실근 α,β,γ (α≤β≤γ)\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\ (\alpha\le\beta\le\gamma)를 가진다.

(2) 사차다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 삼차다항식 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)로 나누었을 때의 몫은 14(x−α+β+γ3)\displaystyle \dfrac14\left(x-\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}3\right), 나머지는 −13(x−α)2+2\displaystyle -\dfrac13(x-\alpha)^2+2이다.

【3-1】 α=β\displaystyle \alpha=\beta이고 β≠γ\displaystyle \beta\ne\gamma가 성립함을 증명하시오. (40점)

【3-2】 γ−α\displaystyle \gamma-\alpha의 값을 구하시오. (40점)

【3-3】 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x)\displaystyle g(x)를g(x)={α(x<k)2α(x≥k)\displaystyle g(x)=\begin{cases}\alpha&(x<k)\\2\alpha&(x\ge k)\end{cases}라 할 때, g(x)\displaystyle g(x)는 x=k\displaystyle x=k에서 불연속이다.(1) 함수 (f∘g)(x)\displaystyle (f\circ g)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (20점)

(2) 함수 (g∘f)(x)\displaystyle (g\circ f)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 k\displaystyle k의 최댓값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_3

+10점 · f(x)=14(x−α)(x−β)(x−γ)(x−α+β+γ3)−13(x−α)2+2\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}3\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2가 성립함을 보이면

【3-1】 조건에 의해f(x)=14(x−α)(x−β)(x−γ)(x−α+β+γ3)−13(x−α)2+2\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}3\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2

+10점 · f′(α)=112(2α−β−γ)(α−β)(α−γ)=0\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\dfrac1{12}(2\alpha-\beta-\gamma)(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=0임을 보이면

f′(α)=112(2α−β−γ)(α−β)(α−γ)=0\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\dfrac1{12}(2\alpha-\beta-\gamma)(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=0이다. 그러므로 (i) 2α=β+γ\displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma 또는 (ii) α=β\displaystyle \alpha=\beta 또는 (iii) α=γ\displaystyle \alpha=\gamma이다.

+20점 · 2α=β+γ\displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma 또는 α=γ\displaystyle \alpha=\gamma인 경우 성립하지 않음을 보이면

(i) 또는 (iii) 이면 α=β=γ\displaystyle \alpha=\beta=\gamma이므로 f′(x)=(x−α)3,f(x)=14(x−α)4+2 (∵f(α)=2)\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-\alpha)^3,f(x)=\dfrac14(x-\alpha)^4+2\ (\because f(\alpha)=2)이 경우 f(x)\displaystyle f(x)를 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)로 나누었을 때 나머지가 상수이므로 성립하지 않는다.그러므로 α=β\displaystyle \alpha=\beta, β≠γ\displaystyle \beta\ne\gamma이다.

+10점 · f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)를 구하면

【3-2】 α=β\displaystyle \alpha=\beta, β≠γ\displaystyle \beta\ne\gamma이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.f(x)=14(x−α)2(x−γ)(x−2α+γ3)−13(x−α)2+2\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)^2(x-\gamma)\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2f′(x)=12(x−α)(x−γ)(x−2α+γ3)+14(x−α)2(x−2α+γ3)+14(x−α)2(x−γ)−23(x−α)\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac12(x-\alpha)(x-\gamma)\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)+\dfrac14(x-\alpha)^2\left(x-\dfrac{2\alpha+\gamma}3\right)+\dfrac14(x-\alpha)^2(x-\gamma)-\dfrac23(x-\alpha)

+20점 · x=γ\displaystyle x=\gamma를 대입하면 f′(γ)=16(γ−α)3−23(γ−α)=0\displaystyle f^{\prime}(\gamma)=\dfrac16(\gamma-\alpha)^3-\dfrac23(\gamma-\alpha)=0을 구하면

이고 x=γ\displaystyle x=\gamma를 대입하면 f′(γ)=16(γ−α)3−23(γ−α)=0\displaystyle f^{\prime}(\gamma)=\dfrac16(\gamma-\alpha)^3-\dfrac23(\gamma-\alpha)=0이다.

+10점 · r−α=2\displaystyle r-\alpha=2를 구하면

그러므로 r−α=2\displaystyle r-\alpha=2이다.Correction. 3-2 채점기준과 예시답안, 3-3 예시답안 첫 문장의 r\displaystyle r는 γ\displaystyle \gamma의 오기이다. 앞의 식에서 γ>α\displaystyle \gamma>\alpha이므로 다음을 얻는다.(γ−α)((γ−α)2−4)=0\displaystyle (\gamma-\alpha)\bigl((\gamma-\alpha)^2-4\bigr)=0γ−α=2\displaystyle \gamma-\alpha=2따라서 해당 표기는 r−α=2\displaystyle r-\alpha=2가 아니라 γ−α=2\displaystyle \gamma-\alpha=2이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

【3-3】 r−α=2\displaystyle r-\alpha=2이므로 f(x)=14(x−α)2(x−α−2)(x−α−23)−13(x−α)2+2\displaystyle f(x)=\dfrac14(x-\alpha)^2(x-\alpha-2)\left(x-\alpha-\dfrac23\right)-\dfrac13(x-\alpha)^2+2이다.

+10점 · (1) (f∘g)(x)\displaystyle (f\circ g)(x)가 연속이므로 f(α)=f(2α)\displaystyle f(\alpha)=f(2\alpha)임을 보이면

(1) 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=k\displaystyle x=k에서 불연속이므로 α≠0\displaystyle \alpha\ne0이다. 함수 (f∘g)(x)\displaystyle (f\circ g)(x)가 연속이므로f(g(k))=f(2α),lim⁡x→k−f(g(x))=f(α),lim⁡x→k+f(g(x))=f(2α)\displaystyle f(g(k))=f(2\alpha),\displaystyle\lim_{x\to k-}f(g(x))=f(\alpha),\lim_{x\to k+}f(g(x))=f(2\alpha)2=f(α)=f(2α)=14α2(α−2)(α−23)−13α2+2\displaystyle 2=f(\alpha)=f(2\alpha)=\dfrac14\alpha^2(\alpha-2)\left(\alpha-\dfrac23\right)-\dfrac13\alpha^2+2이다.

+10점 · f(α)=f(2α)\displaystyle f(\alpha)=f(2\alpha)의 방정식을 풀어서 α=83\displaystyle \alpha=\dfrac83을 구하면

그러므로 α=83\displaystyle \alpha=\dfrac83이다.

+10점 · (2) (g∘f)(x)\displaystyle (g\circ f)(x)가 연속이므로 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥k\displaystyle f(x)\ge k를 만족시켜야 함을 보이면

(2) 함수 (g∘f)(x)\displaystyle (g\circ f)(x)가 연속이므로 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥k\displaystyle f(x)\ge k를 만족시켜야 한다. 그러므로 k\displaystyle k의 최댓값은 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값이다.

+10점 · k\displaystyle k의 최댓값은 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값인 f(γ)=f(α+2)=23\displaystyle f(\gamma)=f(\alpha+2)=\dfrac23임을 구하면

즉, k\displaystyle k의 최댓값은 f(γ)=f(α+2)=23\displaystyle f(\gamma)=f(\alpha+2)=\dfrac23이다.

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