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자연계열 II 2번

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경북대 2024학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2024mo/jayeon2_2

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문제

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)을 잇는 직선의 기울기 m\displaystyle m은m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}이다.

(나) 두 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)사이의 거리는(x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}이다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)\displaystyle f(a)\ne f(b)이면 f(a)\displaystyle f(a)와 f(b)\displaystyle f(b)사이의 임의의 실수 k\displaystyle k에 대하여 f(c)=k\displaystyle f(c)=k인 c\displaystyle c가 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

(라) 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betatan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}이다.

(마) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=g(x) 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는 다음과 같다.S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

(바) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 감소한다.

(사) 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t=g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고, 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, g(α)=a\displaystyle g(\alpha)=a, g(β)=b\displaystyle g(\beta)=b이면∫abf(t) dt=∫αβf(g(x))g′(x) dx\displaystyle \int_a^bf(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

포물선 P:y=x2\displaystyle P:y=x^2위의 서로 다른 세 점 A(a,a2)\displaystyle \mathrm A(a,a^2), B(b,b2)\displaystyle \mathrm B(b,b^2), C(c,c2)\displaystyle \mathrm C(c,c^2)이 아래 조건을 만족 시킨다.

(Ⅰ) b<a<c\displaystyle b<a<c(Ⅱ) 선분 AC\displaystyle \mathrm{AC}, BC\displaystyle \mathrm{BC}, AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기는 각각 ℓ,m,n\displaystyle \ell,m,n이다.

다음 물음에 답하시오.

【2-1】 a,b,c\displaystyle a,b,c를 ℓ,m,n\displaystyle \ell,m,n으로 나타내시오. (20점)

【2-2】 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 포물선 P\displaystyle P로 둘러싸인 영역의 넓이를 D1\displaystyle D_1, 선분 AC\displaystyle \mathrm{AC}와 포물선 P\displaystyle P로 둘러싸인 영역의 넓이를 D2\displaystyle D_2라 할 때, D1+D2\displaystyle D_1+D_2의 값을 ℓ,m,n\displaystyle \ell,m,n으로 나타내시오. (30점)

【2-3】 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}가 정삼각형일 때 m\displaystyle m의 최솟값을 α\displaystyle \alpha, 최댓값을 β\displaystyle \beta라 하자.Caution. 하한이나 상한을 구한 뒤에는 그 값이 실제로 가능한지 확인해야 한다: 정삼각형을 이루는 세 점의 조건을 만족하는 m\displaystyle m의 범위는 −13<m<13\displaystyle -\frac1{\sqrt3}<m<\frac1{\sqrt3}이다. 양 끝값에서는 선분의 기울기를 나타내는 식의 분모가 0\displaystyle 0이 되어 조건을 만족하는 도형을 만들 수 없으므로, m\displaystyle m의 최솟값과 최댓값은 존재하지 않는다. α=−13\displaystyle \alpha=-\frac1{\sqrt3}, β=13\displaystyle \beta=\frac1{\sqrt3}는 각각 이 범위의 하한과 상한으로 해석해야 한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(1) α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 구하시오. (20점)

(2) 실수 m\displaystyle m에 대하여 점 A(a,a2)\displaystyle \mathrm A(a,a^2)의 x\displaystyle x좌표인 a\displaystyle a를 대응시킨 함수 F:(α,β)→R\displaystyle F:(\alpha,\beta)\to\mathbb R가 일대일대응임을 증명하시오. (40점)

(3) 정삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 한 변의 길이를 R(m)\displaystyle R(m)이라 하자. 실수전체의 집합에서 다음과 같이 정의된 함수 R‾(x)\displaystyle \overline R(x)에 대하여R‾(x)={lim⁡t→α+1R(t)x≤α1R(x)α<x<βlim⁡t→β−1R(t)x≥β\displaystyle \overline R(x)=\begin{cases}\lim_{t\to\alpha+}\dfrac1{R(t)}&x\le\alpha\\\dfrac1{R(x)}&\alpha<x<\beta\\\lim_{t\to\beta-}\dfrac1{R(t)}&x\ge\beta\end{cases}정적분∫αβR‾(x) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta\overline R(x)\,dx의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2024학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2024mo/jayeon2_2

+10점 · ℓ=a2−c2a−c=a+c\displaystyle \ell=\dfrac{a^2-c^2}{a-c}=a+c, m=b2−c2b−c=b+c\displaystyle m=\dfrac{b^2-c^2}{b-c}=b+c, n=a2−b2a−b=a+b\displaystyle n=\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=a+b임을 구하였으면

【2-1】제시문 (가)에 의해, ℓ=a2−c2a−c=a+c\displaystyle \ell=\dfrac{a^2-c^2}{a-c}=a+c, m=b2−c2b−c=b+c\displaystyle m=\dfrac{b^2-c^2}{b-c}=b+c, n=a2−b2a−b=a+b\displaystyle n=\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=a+b.

+10점 · 연립1차방정식을 풀고 a=ℓ−m+n2\displaystyle a=\dfrac{\ell-m+n}2, b=−ℓ+m+n2\displaystyle b=\dfrac{-\ell+m+n}2, c=ℓ+m−n2\displaystyle c=\dfrac{\ell+m-n}2를 구하면

따라서 a=ℓ−m+n2\displaystyle a=\dfrac{\ell-m+n}2, b=−ℓ+m+n2\displaystyle b=\dfrac{-\ell+m+n}2, c=ℓ+m−n2\displaystyle c=\dfrac{\ell+m-n}2.

+10점 · 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 AC\displaystyle \mathrm{AC}의 방정식을 구하면
+10점 · 직선과 포물선 사이의 영역을 정적분으로 나타내었으면
+10점 · 적분값을 올바르게 계산하였으면

【2-2】x1<x2\displaystyle x_1<x_2일 때, 포물선 y=x2\displaystyle y=x^2위의 두 점 (x1,x12)\displaystyle (x_1,x_1^2), (x2,x22)\displaystyle (x_2,x_2^2)을 잇는 직선과 포물선 사이의 영역의 넓이는 제시문 (마)에 의해∫x1x2{(x2+x1)x−x1x2−x2} dx=(x2+x1)x22−x1x2x−x33∣x1x2=(x2−x1)36\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\{(x_2+x_1)x-x_1x_2-x^2\}\,dx=\left.(x_2+x_1)\dfrac{x^2}2-x_1x_2x-\dfrac{x^3}3\right|_{x_1}^{x_2}=\dfrac{(x_2-x_1)^3}6.따라서 D1+D2=(ℓ−m)3+(m−n)36\displaystyle D_1+D_2=\dfrac{(\ell-m)^3+(m-n)^3}6.

+10점 · ABC\displaystyle \mathrm{ABC}가 정삼각형임과 삼각함수 덧셈정리를 이용하여 ℓ,n\displaystyle \ell,n을 m\displaystyle m으로 표현하였으면

【2-3】(1) m=tan⁡(t)\displaystyle m=\tan(t)라 할 때 ℓ=tan⁡(t+π3)\displaystyle \ell=\tan\left(t+\dfrac\pi3\right), n=tan⁡(t−π3)\displaystyle n=\tan\left(t-\dfrac\pi3\right)이고, 제시문 (라)에 의해ℓ=tan⁡(t)+tan⁡(π/3)1−tan⁡(t)tan⁡(π/3)=m+31−3m\displaystyle \ell=\dfrac{\tan(t)+\tan(\pi/3)}{1-\tan(t)\tan(\pi/3)}=\dfrac{m+\sqrt3}{1-\sqrt3m}, n=tan⁡(t)−tan⁡(π/3)1+tan⁡(t)tan⁡(π/3)=m−31+3m\displaystyle n=\dfrac{\tan(t)-\tan(\pi/3)}{1+\tan(t)\tan(\pi/3)}=\dfrac{m-\sqrt3}{1+\sqrt3m}.

+5점 · 조건 (Ⅰ)로부터 b<a<c\displaystyle b<a<c를 구하였으면

조건 (Ⅰ)에 의해 b<a<c\displaystyle b<a<c이므로, n=a+b<m=b+c<ℓ=a+c\displaystyle n=a+b<m=b+c<\ell=a+c이므로

+5점 · 위 부등식으로부터 α=−13<m<13=β\displaystyle \alpha=-\dfrac1{\sqrt3}<m<\dfrac1{\sqrt3}=\beta를 구하였으면

m−31+3m<m<m+31−3m⇔α=−13<m<13=β\displaystyle \dfrac{m-\sqrt3}{1+\sqrt3m}<m<\dfrac{m+\sqrt3}{1-\sqrt3m}\quad\Leftrightarrow\quad\alpha=-\dfrac1{\sqrt3}<m<\dfrac1{\sqrt3}=\beta.

+10점 · F(m)=a=m(7+3m2)2(1−3m2)\displaystyle F(m)=a=\dfrac{m(7+3m^2)}{2(1-3m^2)}을 구하였으면

(2) 【2-1】에서, F(m)=a=ℓ−m+n2=12(m+31−3m−m+m−31+3m)=m(7+3m2)2(1−3m2)\displaystyle F(m)=a=\dfrac{\ell-m+n}2=\dfrac12\left(\dfrac{m+\sqrt3}{1-\sqrt3m}-m+\dfrac{m-\sqrt3}{1+\sqrt3m}\right)=\dfrac{m(7+3m^2)}{2(1-3m^2)}.

+10점 · F(m)\displaystyle F(m)이 연속임을 보였으면

이때 F(m)\displaystyle F(m)은 m\displaystyle m에 대한 유리함수이므로 연속이고,

+5점 · 극한과 사잇값 정리를 이용하여 F(m)\displaystyle F(m)의 치역이 실수 전체인 것을 보였으면

lim⁡m→−1/3F(m)=−∞\displaystyle \lim_{m\to-1/\sqrt3}F(m)=-\infty, lim⁡m→1/3F(m)=∞\displaystyle \lim_{m\to1/\sqrt3}F(m)=\infty이므로 제시문 (다)의 사잇값 정리에 의해 치역은 실수전체.

+15점 · dFdm=−9m4+30m2+72(1−3m2)2>0\displaystyle \dfrac{dF}{dm}=\dfrac{-9m^4+30m^2+7}{2(1-3m^2)^2}>0이므로 F(m)\displaystyle F(m)이 증가함수이고 따라서 일대일대응임을 증명하였으면

또한 −13<m<13\displaystyle -\dfrac1{\sqrt3}<m<\dfrac1{\sqrt3}에서dFdm=(7+9m2)(1−3m2)−m(7+3m2)(−6m)2(1−3m2)2=−9m4+30m2+72(1−3m2)2>0\displaystyle \dfrac{dF}{dm}=\dfrac{(7+9m^2)(1-3m^2)-m(7+3m^2)(-6m)}{2(1-3m^2)^2}=\dfrac{-9m^4+30m^2+7}{2(1-3m^2)^2}>0이므로 제시문 (바)에 의해 F(m)\displaystyle F(m)이 증가함수이고 일대일대응.

+10점 · R(m)=23(1+m2)321−3m2\displaystyle R(m)=\dfrac{2\sqrt3(1+m^2)^{\frac32}}{1-3m^2}을 올바르게 계산하였으면

(3) 정삼각형의 한 변의 길이 R(m)\displaystyle R(m)은 선분 BC\displaystyle \mathrm{BC}의 길이와 같으므로, 제시문 (나)에 의해,R(m)=(c−b)2+(c2−b2)2=(c−b)1+(c+b)2=(ℓ−n)1+m2=23(1+m2)321−3m2\displaystyle R(m)=\sqrt{(c-b)^2+(c^2-b^2)^2}=(c-b)\sqrt{1+(c+b)^2}=(\ell-n)\sqrt{1+m^2}=\dfrac{2\sqrt3(1+m^2)^{\frac32}}{1-3m^2}.

+10점 · R‾(x)={0x≤−13, x≥131−3x223(1+x2)32−13<x<13\displaystyle \overline R(x)=\begin{cases}0&x\le-\dfrac1{\sqrt3},\ x\ge\dfrac1{\sqrt3}\\\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt3(1+x^2)^{\frac32}}&-\dfrac1{\sqrt3}<x<\dfrac1{\sqrt3}\end{cases}를 올바르게 계산하였으면

이 때, lim⁡t→−1/31R(t)=lim⁡t→1/31R(t)=0\displaystyle \lim_{t\to-1/\sqrt3}\dfrac1{R(t)}=\lim_{t\to1/\sqrt3}\dfrac1{R(t)}=0이므로,R‾(x)={0x≤−13, x≥131−3x223(1+x2)32−13<x<13\displaystyle \overline R(x)=\begin{cases}0&x\le-\dfrac1{\sqrt3},\ x\ge\dfrac1{\sqrt3}\\\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt3(1+x^2)^{\frac32}}&-\dfrac1{\sqrt3}<x<\dfrac1{\sqrt3}\end{cases}.제시문 (사)를 이용하여 정적분을 계산하면

+10점 · 치환적분을 올바르게 사용하였으면 ∫−1313R‾(x) dx=∫−13131−3x223(1+x2)32 dx=123∫−π6π61−3tan⁡2tsec⁡3tsec⁡2t dt\displaystyle \int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\frac1{\sqrt3}}\overline R(x)\,dx=\int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\frac1{\sqrt3}}\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt3(1+x^2)^{\frac32}}\,dx=\dfrac1{2\sqrt3}\int_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6}\dfrac{1-3\tan^2t}{\sec^3t}\sec^2t\,dt
+10점 · 정적분을 올바르게 계산하였으면 ∫−1313R‾(x) dx=123(4sin⁡t−3ln⁡(sec⁡t+tan⁡t))∣−π/6π/6=123(4−3ln⁡3)\displaystyle \int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\frac1{\sqrt3}}\overline R(x)\,dx=\dfrac1{2\sqrt3}(4\sin t-3\ln(\sec t+\tan t))|_{-\pi/6}^{\pi/6}=\dfrac1{2\sqrt3}(4-3\ln3)

∫−1313R‾(x) dx=∫−13131−3x223(1+x2)32 dx=123∫−π6π61−3tan⁡2tsec⁡3tsec⁡2t dt=123(4sin⁡t−3ln⁡(sec⁡t+tan⁡t))∣−π/6π/6=123(4−3ln⁡3).\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\frac1{\sqrt3}}\overline R(x)\,dx&=\int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\frac1{\sqrt3}}\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt3(1+x^2)^{\frac32}}\,dx=\dfrac1{2\sqrt3}\int_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6}\dfrac{1-3\tan^2t}{\sec^3t}\sec^2t\,dt\\&=\dfrac1{2\sqrt3}(4\sin t-3\ln(\sec t+\tan t))|_{-\pi/6}^{\pi/6}=\dfrac1{2\sqrt3}(4-3\ln3).\end{aligned}

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