자연계열 I 2번

【2-1】 조건 (Ⅲ)에 의해 $\displaystyle \{e^{g(0)}-f(0)\}\{e^{g(0)}-f(1)\}\{g(0)\}^2=0$이다. 한편, $\displaystyle e^{g(0)}>0$, $\displaystyle f(0)=-1<0$, $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle e^{g(0)}\ne f(0)$, $\displaystyle e^{g(0)}\ne f(1)$이다. 따라서, $\displaystyle g(0)=0$을 얻는다.조건 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)\ne0$이고, $\displaystyle f\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12$, $\displaystyle f\left(\dfrac12\right)=-\dfrac12$로부터 조건 (Ⅲ)에서 $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)=\ln\dfrac34<0$임을 알 수 있고, 따라서 조건 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle g\left(\dfrac32\right)<0$이다. 또한, $\displaystyle f\left(\dfrac32\right)=\dfrac12$, $\displaystyle f\left(\dfrac52\right)=f\left(-\dfrac32\right)=\dfrac12$, $\displaystyle \ln\left(\left(\dfrac32\right)^2+\dfrac32+1\right)>0$로부터 조건 (Ⅲ)에서 $\displaystyle g\left(\dfrac32\right)=\ln\dfrac12=-\ln2$를 얻는다.

【2-2】 함수 $\displaystyle g(x)$는 연속이고 $\displaystyle -1\le x\le1$일때 $\displaystyle f(x)\le0$이므로, 조건 (Ⅲ)과 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle -1\le x\le0$일때 $\displaystyle g(x)=\ln(x^2+x+1)$임을 알 수 있다. 또한, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle -1\le f(x)\le1$이고, $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$일때 $\displaystyle \ln(x^2+x+1)>0$이므로 조건 (Ⅲ), (Ⅳ) 및 문제 【2-1】에 의해 $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$일때 $\displaystyle g(x)\ne\ln(x^2+x+1)$이다. 따라서, $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$일때 $\displaystyle \{e^{g(x)}-f(x)\}\{e^{g(x)}-f(x+1)\}g(x)=0$이 성립한다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 및 $\displaystyle f(x+1)$의 부호와 함수 $\displaystyle g(x)$의 연속성을 고려하면, $\displaystyle -2<x<-1$ 또는 $\displaystyle 0<x\le1$일때 $\displaystyle g(x)=0$임을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle 1<x\le\dfrac32$일때 $\displaystyle g(x)=\ln f(x+1)=\ln(2-x)$이고, $\displaystyle \dfrac32<x<2$일때 $\displaystyle g(x)=\ln f(x)=\ln(x-1)$임을 알 수 있다. 이로부터 열린구간 $\displaystyle (-2,2)$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하지 않은 모든 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle a=-1,0,1,\dfrac32$이다.

(1) 위에서 구한 $\displaystyle g(x)$로부터, $\displaystyle \ln\dfrac34<t<0$일때 $\displaystyle h(t)=6$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle \lim_{t\to0-}h(t)=6$이다.

(2) 위에서 구한 $\displaystyle g(x)$ 및 조건 (Ⅱ)에 의해$\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx+2\int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx$임을 알 수 있다. 한편,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx&=\int_{-1}^0\left(-x-\dfrac12\right)\ln(x^2+x+1)\,dx\\&=-\int_{-1}^0\left(x+\dfrac12\right)\ln\left(\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\right)\,dx=-\int_{-\frac12}^{\frac12}x\ln\left(x^2+\dfrac34\right)\,dx=0,\end{aligned}$$\displaystyle \int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_1^{\frac32}\left(x-\dfrac12\right)\ln(2-x)\,dx+\int_{\frac32}^2\left(x-\dfrac12\right)\ln(x-1)\,dx=\ln2-1$이므로,$\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx+2\int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=2\ln2-2$이다.