자연계열 I 2번

경북대 2024학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2024mo/jayeon1_2

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다.(i) $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(ii) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(iii) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 가 존재하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다.

(다) $\displaystyle x=a$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고, 그 값이 모두 $\displaystyle L$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ 이다.

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 임의의 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때, $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx$ 이다.

(마) 미분가능한 함수 $\displaystyle t=g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 연속이고, 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle g(\alpha)=a$ , $\displaystyle g(\beta)=b$ 이면 $\displaystyle \int_a^bf(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx$ 이다.

(바) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 도함수를 갖는 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$ 이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(Ⅰ) 닫힌구간 $\displaystyle [-2,2]$ 에서 $\displaystyle f(x)=|x|-1$ 이다.(Ⅱ) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x+4)$ 이다.(Ⅲ) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \{e^{g(x)}-f(x)\}\{e^{g(x)}-f(x+1)\}\{g(x)-\ln(x^2+x+1)\}g(x)=0$ 이다.(Ⅳ) $\displaystyle g(-2024)=0$ , $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)g\left(\dfrac32\right)>0$ 이다.

다음 물음에 답하시오.

【2-1】 $\displaystyle g(0)$ 의 값과 $\displaystyle g\left(\dfrac32\right)$ 의 값을 각각 구하시오. (30점)

【2-2】 열린구간 $\displaystyle (-2,2)$ 에서 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하지 않은 모든 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (40점)

【2-3】 $\displaystyle 0$ 이 아닌 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여, $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle g(x)=t$ ( $\displaystyle -8\le x\le2$ )의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle h(t)$ 라 하자. $\displaystyle h\left(\ln\dfrac34\right)=5$ 일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle \lim_{t\to0-}h(t)$ 의 값을 구하시오. (30점)

(2) $\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2024학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2024mo/jayeon1_2

+10점 ·

\displaystyle g(0)=0

을 구하면

【2-1】 조건 (Ⅲ)에 의해 $\displaystyle \{e^{g(0)}-f(0)\}\{e^{g(0)}-f(1)\}\{g(0)\}^2=0$ 이다. 한편, $\displaystyle e^{g(0)}>0$ , $\displaystyle f(0)=-1<0$ , $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle e^{g(0)}\ne f(0)$ , $\displaystyle e^{g(0)}\ne f(1)$ 이다. 따라서, $\displaystyle g(0)=0$ 을 얻는다.

+10점 ·

\displaystyle g\left(\dfrac32\right)<0

임을 보이면

조건 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)\ne0$ 이고, $\displaystyle f\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12$ , $\displaystyle f\left(\dfrac12\right)=-\dfrac12$ 로부터 조건 (Ⅲ)에서 $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)=\ln\dfrac34<0$ 임을 알 수 있고, 따라서 조건 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle g\left(\dfrac32\right)<0$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle g\left(\dfrac32\right)=-\ln2

를 구하면

또한, $\displaystyle f\left(\dfrac32\right)=\dfrac12$ , $\displaystyle f\left(\dfrac52\right)=f\left(-\dfrac32\right)=\dfrac12$ , $\displaystyle \ln\left(\left(\dfrac32\right)^2+\dfrac32+1\right)>0$ 로부터 조건 (Ⅲ)에서 $\displaystyle g\left(\dfrac32\right)=\ln\dfrac12=-\ln2$ 를 얻는다.

+10점 · 함수

\displaystyle g(x)

가

\displaystyle x=-1

에서 미분가능하지 않음을 보이면

+10점 · 함수

\displaystyle g(x)

가

\displaystyle x=0

에서 미분가능하지 않음을 보이면

+10점 · 함수

\displaystyle g(x)

가

\displaystyle x=1

에서 미분가능하지 않음을 보이면

+10점 · 함수

\displaystyle g(x)

가

\displaystyle x=\dfrac32

에서 미분가능하지 않음을 보이면

【2-2】 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 연속이고 $\displaystyle -1\le x\le1$ 일때 $\displaystyle f(x)\le0$ 이므로, 조건 (Ⅲ)과 (Ⅳ)에 의해 $\displaystyle -1\le x\le0$ 일때 $\displaystyle g(x)=\ln(x^2+x+1)$ 임을 알 수 있다. 또한, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle -1\le f(x)\le1$ 이고, $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$ 일때 $\displaystyle \ln(x^2+x+1)>0$ 이므로 조건 (Ⅲ), (Ⅳ) 및 문제 【2-1】에 의해 $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$ 일때 $\displaystyle g(x)\ne\ln(x^2+x+1)$ 이다. 따라서, $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>0$ 일때 $\displaystyle \{e^{g(x)}-f(x)\}\{e^{g(x)}-f(x+1)\}g(x)=0$ 이 성립한다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 및 $\displaystyle f(x+1)$ 의 부호와 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 연속성을 고려하면, $\displaystyle -2<x<-1$ 또는 $\displaystyle 0<x\le1$ 일때 $\displaystyle g(x)=0$ 임을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle 1<x\le\dfrac32$ 일때 $\displaystyle g(x)=\ln f(x+1)=\ln(2-x)$ 이고, $\displaystyle \dfrac32<x<2$ 일때 $\displaystyle g(x)=\ln f(x)=\ln(x-1)$ 임을 알 수 있다. 이로부터 열린구간 $\displaystyle (-2,2)$ 에서 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하지 않은 모든 $\displaystyle a$ 의 값은 $\displaystyle a=-1,0,1,\dfrac32$ 이다.

【2-3】 문제 【2-2】에 의해 $\displaystyle -2\le x\le2$ 일때 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}0,&-2\le x\le-1,\\\ln(x^2+x+1),&-1<x<0,\\0,&0\le x\le1,\\\ln(2-x),&1<x\le\dfrac32,\\\ln(x-1),&\dfrac32<x\le2,\end{cases}$ 이다. 또한, $\displaystyle -8\le x\le-2$ 일때 $\displaystyle \{e^{g(x)}-f(x)\}\{e^{g(x)}-f(x+1)\}g(x)=0$ 이 성립한다.한편, $\displaystyle -1\le x\le0$ 일때 $\displaystyle g(x)=\ln(x^2+x+1)$ , $\displaystyle g\left(-\dfrac12\right)=\ln\dfrac34>\ln\dfrac12=g\left(\dfrac32\right)$ 이다. $\displaystyle h\left(\ln\dfrac34\right)=5$ 이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$ 및 $\displaystyle f(x+1)$ 의 부호와 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 연속성을 고려하면 $\displaystyle -8\le x\le-2$ 일때 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}0,&-8\le x\le-3,\\\ln(-2-x),&-3<x\le-\dfrac52,\\\ln(x+3),&-\dfrac52<x\le-2,\end{cases}$ 또는 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}0,&-8\le x\le-7,\\\ln(-6-x),&-7<x\le-\dfrac{13}2,\\\ln(x+7),&-\dfrac{13}2<x\le-6,\\0,&-6<x\le-2,\end{cases}$ 임을 알 수 있다.

+20점 ·

\displaystyle \ln\dfrac34<t<0

일 때,

\displaystyle h(t)=6

임을 보이면

(1) 위에서 구한 $\displaystyle g(x)$ 로부터, $\displaystyle \ln\dfrac34<t<0$ 일때 $\displaystyle h(t)=6$ 임을 알 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle \lim_{t\to0-}h(t)=6

을 구하면

따라서, $\displaystyle \lim_{t\to0-}h(t)=6$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx+2\int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx

를 보이면

(2) 위에서 구한 $\displaystyle g(x)$ 및 조건 (Ⅱ)에 의해 $\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx+2\int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx$ 임을 알 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle \int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=0

을 구하면

한편, $\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx&=\int_{-1}^0\left(-x-\dfrac12\right)\ln(x^2+x+1)\,dx\\&=-\int_{-1}^0\left(x+\dfrac12\right)\ln\left(\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\right)\,dx=-\int_{-\frac12}^{\frac12}x\ln\left(x^2+\dfrac34\right)\,dx=0,\end{aligned}$

+10점 ·

\displaystyle \int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\ln2-1

을 구하면

$\displaystyle \int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_1^{\frac32}\left(x-\dfrac12\right)\ln(2-x)\,dx+\int_{\frac32}^2\left(x-\dfrac12\right)\ln(x-1)\,dx=\ln2-1$

+10점 ·

\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=2\ln2-2

를 구하면

이므로, $\displaystyle \int_{-8}^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=\int_{-1}^0\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx+2\int_1^2\left\{f(x)+\dfrac12\right\}g(x)\,dx=2\ln2-2$ 이다.

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