자연계열 II 1번

【1-1】 함수 $\displaystyle f(x)$가 일대일 함수가 아니라고 가정하면, $\displaystyle f(a)=f(b)$를 만족하는 서로 다른 두 실수 $\displaystyle a,b(a<b)$가 존재한다.

【1-2】 $\displaystyle k=1$일 때, $\displaystyle f(x)=p\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)$이다. 사차함수 $\displaystyle p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ($\displaystyle a>0$)라 하면, $\displaystyle f(x)=a\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)^4+b\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)^3+c\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)^2+d\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)+e$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac4{e^{-x}+1}\right)=0$이므로 $\displaystyle 4=\lim_{x\to-\infty}f(x)=e=p(0)$이다.

【1-3】 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle g(x)=\dfrac{(k-1)e^{-x}+2|k|-|k-1|+|k-2|+1}{e^{-x}+1}$라 하자.모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle g^{\prime}(x)=\dfrac{(2|k|-|k-1|+|k-2|-k+2)e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}>0$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 증가하며 일대일함수가 된다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=2|k|-|k-1|+|k-2|+1$이고 $\displaystyle g(x)<2|k|-|k-1|+|k-2|+1$이다.또한, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=k-1$이고 $\displaystyle g(x)>k-1$이다.그러므로 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 치역은 $\displaystyle \{y\mid k-1<y<2|k|-|k-1|+|k-2|+1\}$이다.

$\displaystyle f(x)=p(g(x))$가 일대일함수가 아니면, 【1-1】에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=p^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$가 적어도 하나 존재하므로, $\displaystyle p^{\prime}(x)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (k-1,2|k|-|k-1|+|k-2|+1)$에 적어도 하나 존재한다.

$\displaystyle k=0$일 때 $\displaystyle f(x)$는 일대일함수가 아니므로, $\displaystyle p^{\prime}(x)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (-1,2)$에 적어도 하나 존재한다. $\displaystyle k=3$ 또는 $\displaystyle k=7$일 때, 비슷하게 $\displaystyle p^{\prime}(x)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (2,6)$와 $\displaystyle (6,14)$에 각각 적어도 하나 존재한다.

【1-4】 삼차 방정식 $\displaystyle p^{\prime}(x)=0$의 서로 다른 세 실근을 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ ($\displaystyle \alpha<\beta<\gamma$)라 하자.$\displaystyle \gamma<8$이면, 실수 $\displaystyle \gamma^{\prime}$ ($\displaystyle \gamma<\gamma^{\prime}<8$)에 대하여 열린구간 $\displaystyle (\gamma^{\prime},\infty)$에서 $\displaystyle p(x)$는 증가하며 일대일함수가 되므로, $\displaystyle \gamma^{\prime}+1\in A$이다. 하지만, $\displaystyle 2<\gamma^{\prime}+1<9$이므로 $\displaystyle \gamma^{\prime}+1\notin A$이다. 그러므로 $\displaystyle \gamma\ge8$이다.비슷하게, $\displaystyle \gamma>8$이면 $\displaystyle 9\notin A$이므로 $\displaystyle \gamma=8$이다.만약 $\displaystyle \beta\in\{x\mid0<x<4\}$이면 열린구간 $\displaystyle (\beta_1,\beta)$에서 $\displaystyle p(x)$는 증가하고 열린구간 $\displaystyle (\beta,\beta_2)$에서 $\displaystyle p(x)$는 감소하는 실수 $\displaystyle \beta_1,\beta_2$ ($\displaystyle 0<\beta_1<\beta<\beta_2<4$)가 존재하여 열린구간 $\displaystyle (0,4)$에서 $\displaystyle p(x)$는 일대일함수가 아니고 $\displaystyle 1\notin A$이다. 하지만, $\displaystyle 1\in A$이므로, $\displaystyle \beta\notin(0,4)$이고 $\displaystyle \beta\ge4$이다. 비슷하게, $\displaystyle \alpha\notin\{x\mid0<x<4\}$이고 $\displaystyle \alpha\le0$을 구할 수 있다.$\displaystyle \beta>4$이면, $\displaystyle \beta^{\prime}$ ($\displaystyle 0<\beta^{\prime}<\dfrac{\beta-4}2$)에 대하여 열린구간 $\displaystyle (0,4+2\beta^{\prime})$[또는 $\displaystyle (1+\beta^{\prime},4+2\beta^{\prime})$]에서 $\displaystyle p(x)$는 증가하며 일대일함수가 되므로, $\displaystyle 2+\beta^{\prime}\in A$이다. $\displaystyle \beta<\gamma=8$이므로 $\displaystyle 2<2+\beta^{\prime}<4$이다. 즉, $\displaystyle 2+\beta^{\prime}\notin A$이다.그러므로, $\displaystyle \beta=4$이다. 비슷하게, $\displaystyle \alpha=0$을 구할 수 있으며$\displaystyle p^{\prime}(x)=4ax(x-4)(x-8)=4ax^3-48ax^2+128ax$이다.한편, $\displaystyle p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+4$ ($\displaystyle a>0$)이므로 $\displaystyle p^{\prime}(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$이다.그러므로 $\displaystyle p(x)=ax^4-16ax^3+64ax^2+4$이다.

$\displaystyle p(x)-mx-4=x(ax^3-16ax^2+64ax-m)$이므로 $\displaystyle h(m)$의 값은 함수 $\displaystyle q(x)=ax^3-16ax^2+64ax$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=m$의 교점의 개수보다 $\displaystyle 1$ 크다.Caution. 경우를 나눌 때는 빠진 경우가 없는지 확인하고, 개수를 셀 때는 같은 대상을 중복하여 세지 않아야 한다: $\displaystyle p(x)-mx-4=x\{q(x)-m\}$, $\displaystyle q(x)=ax(x-8)^2$이므로 $\displaystyle x=0$인 경우와 $\displaystyle q(x)=m$인 경우를 합쳐 실근을 센다. 그런데 $\displaystyle m=0$이면 $\displaystyle x=0$이 두 경우에 모두 포함된다. 이때 서로 다른 실근은 $\displaystyle 0,8$의 두 개이므로, $\displaystyle q(x)=0$의 실근 개수에 다시 1을 더해서는 안 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle q(x)=ax(x-8)^2$이고 $\displaystyle q^{\prime}(x)=a(x-8)(3x-8)$이므로 함수 $\displaystyle h(m)$은 $\displaystyle m=0$ 또는 $\displaystyle m=q\left(\dfrac83\right)$에서 불연속이다.

함수 $\displaystyle h(m)$이 $\displaystyle m=64$에서 불연속이므로 $\displaystyle 64=q\left(\dfrac83\right)=\dfrac{2048}{27}a$를 만족한다. 그러므로 $\displaystyle a=\dfrac{27}{32}$이다.