자연계열 II 2번

【2-1】 (1) 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{1-a^2},0\right)$이다. 각 $\displaystyle \mathrm{PQO}$의 크기를 $\displaystyle \theta$라고 두면, 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle x=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)$, $\displaystyle y=\sin\left(\theta+\dfrac\pi3\right)$임을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle \sin\theta=a$, $\displaystyle \cos\theta=\sqrt{1-a^2}$이 성립한다. 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle x=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=\sin\theta\cos\dfrac\pi6+\cos\theta\sin\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3a+\sqrt{1-a^2}}2$$\displaystyle y=\sin\left(\theta+\dfrac\pi3\right)=\sin\theta\cos\dfrac\pi3+\cos\theta\sin\dfrac\pi3=\dfrac{a+\sqrt{3(1-a^2)}}2$이다.

【2-1】 (2) 문제 (1)에서 $\displaystyle y=\sin\left(\theta+\dfrac\pi3\right)=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6+\dfrac\pi6\right)$이므로, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle y=\sin\left(\left(\theta+\dfrac\pi6\right)+\dfrac\pi6\right)=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\cos\dfrac\pi6+\cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\sin\dfrac\pi6$이다.한편, $\displaystyle 0\le a\le\dfrac{\sqrt3}2$이면 $\displaystyle 0\le\theta\le\dfrac\pi3$이므로 $\displaystyle \dfrac\pi6\le\theta+\dfrac\pi6\le\dfrac\pi2$이고, 따라서 $\displaystyle \cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\ge0$이다.$\displaystyle x=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)$, $\displaystyle \sin^2\left(\theta+\dfrac\pi6\right)+\cos^2\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=1$이므로,$\displaystyle y=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\cos\dfrac\pi6+\cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\sin\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12\sqrt{1-x^2}$이다. 그러므로 $\displaystyle c_1=\dfrac{\sqrt3}2$, $\displaystyle c_2=\dfrac12$, $\displaystyle c_3=1$이다.

【2-2】 점 $\displaystyle \mathrm P$가 변 $\displaystyle \mathrm{OA}$ 위에 있을 때, 문제 【2-1】에서 $\displaystyle 0\le\theta\le\dfrac\pi2$ (단, $\displaystyle \theta=\dfrac\pi2$는 $\displaystyle \mathrm P=\mathrm A$, $\displaystyle \mathrm Q=\mathrm O$일 때로 정의)이므로, 점 $\displaystyle \mathrm R$가 정사각형 $\displaystyle \mathrm{OABC}$의 변 위에 있다면 $\displaystyle x=\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=1$ 또는 $\displaystyle y=\sin\left(\theta+\dfrac\pi3\right)=1$이 되어야 한다.따라서, $\displaystyle \theta=\dfrac\pi3$ 또는 $\displaystyle \theta=\dfrac\pi6$이어야 하고, 이때 가능한 점 $\displaystyle \mathrm R$의 좌표는 $\displaystyle \left(1,\dfrac{\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt3}2,1\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$가 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$, 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$, 변 $\displaystyle \mathrm{CO}$ 위에 있을 때도 가능한 점 $\displaystyle \mathrm R$의 좌표를 모두 구하면$\displaystyle \left(1,1-\dfrac{\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt3}2,0\right)$, $\displaystyle \left(1-\dfrac{\sqrt3}2,0\right)$, $\displaystyle \left(0,1-\dfrac{\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \left(0,\dfrac{\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \left(1-\dfrac{\sqrt3}2,1\right)$이다.따라서, 구하고자 하는 점 $\displaystyle \mathrm R$의 좌표를 모두 구하면$\displaystyle \left(1,\dfrac{\sqrt3}2\right),\quad\left(\dfrac{\sqrt3}2,1\right),\quad\left(1,1-\dfrac{\sqrt3}2\right),\quad\left(\dfrac{\sqrt3}2,0\right),\quad\left(1-\dfrac{\sqrt3}2,0\right),\quad\left(0,1-\dfrac{\sqrt3}2\right),\quad\left(0,\dfrac{\sqrt3}2\right),\quad\left(1-\dfrac{\sqrt3}2,1\right)$이다.

【2-3】 정사각형 $\displaystyle \mathrm{OABC}$에서 점 $\displaystyle \mathrm R$가 그리는 도형의 바깥 부분의 면적을 계산하자.직선 $\displaystyle x=\dfrac12$, $\displaystyle y=1$과 곡선 $\displaystyle y=\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac{\sqrt{1-x^2}}2$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle S_1$이라 하고, 직선 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle y=1$과 곡선 $\displaystyle y=\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac{\sqrt{1-x^2}}2$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle S_2$라 하자.점 $\displaystyle \mathrm P$가 정사각형 $\displaystyle \mathrm{OABC}$의 변을 따라 한 바퀴 돌 때, 점 $\displaystyle \mathrm R$가 나타내는 도형의 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle 1-8S_1-4S_2$이다.이를 계산하면 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\left\{1-\left(\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac{\sqrt{1-x^2}}2\right)\right\}\,dx\\&=\dfrac{3\sqrt3}8-\dfrac12-\dfrac12\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\cos^2\theta\,d\theta\\&=\dfrac{3\sqrt3}8-\dfrac12-\dfrac12\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\dfrac{\cos2\theta+1}2\,d\theta\\&=\dfrac{3\sqrt3}8-\dfrac12-\dfrac\pi{24}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}S_2&=\int_{\frac{\sqrt3}2}^1\left\{1-\left(\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac{\sqrt{1-x^2}}2\right)\right\}\,dx\\&=1-\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac{\sqrt3}{16}-\dfrac12\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\cos^2\theta\,d\theta\\&=1-\dfrac{9\sqrt3}{16}-\dfrac12\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2\theta+1}2\,d\theta\\&=1-\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac\pi{24}\end{aligned}$

$\displaystyle \therefore S=1-8S_1-4S_2=1-8\left(\dfrac{3\sqrt3}8-\dfrac12-\dfrac\pi{24}\right)-4\left(1-\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac\pi{24}\right)=1+\dfrac\pi2-\sqrt3$